Limites & Continuité · Fiche N°36 / 110

Théorème de la bijection : existence et unicité de solution

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a, b]$. Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (ou entre $f(b)$ et $f(a)$ si $f$ est décroissante), l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans l'intervalle $[a, b]$. Ce théorème garantit à la fois l'existence et l'unicité d'une solution.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les trois conditions (continuité, stricte monotonie, appartenance de $k$ à l'intervalle image) avant d'appliquer le théorème de la bijection.
xyOeˣln xy=xBijections réciproques l'une de l'autre

Méthode — Théorème de la bijection : existence et unicité de solution

1

Vérifier la continuité de la fonction

La première étape est de s'assurer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle d'étude $[a, b]$. Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques) sont continues sur leur domaine de définition. Les sommes, produits, quotients (si le dénominateur ne s'annule pas) et composées de fonctions continues sont continues.

2

Vérifier la stricte monotonie de la fonction

Il faut ensuite montrer que la fonction $f$ est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur l'intervalle $[a, b]$. Pour cela, on étudie le signe de sa dérivée $f'(x)$ sur cet intervalle. Si $f'(x) > 0$ sur $[a, b]$, alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ sur $[a, b]$, alors $f$ est strictement décroissante.

3

Calculer les images des bornes de l'intervalle

Calculer les valeurs $f(a)$ et $f(b)$ (ou les limites aux bornes si l'intervalle est ouvert ou semi-ouvert). Ces valeurs définissent l'intervalle image $I = [f(a), f(b)]$ (ou $[f(b), f(a)]$ si $f$ est décroissante). On peut aussi utiliser les limites si l'intervalle est de la forme $[a, +\infty[$ ou $]-\infty, b]$. Par exemple, si $f$ est strictement croissante sur $[a, +\infty[$, l'intervalle image est $[f(a), \lim_{x\to+\infty} f(x)[$.

4

Conclure sur l'existence et l'unicité de la solution

Si la valeur $k$ pour laquelle on cherche $f(x)=k$ appartient à l'intervalle image $I$, alors, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans l'intervalle $[a, b]$. Si $k$ n'appartient pas à $I$, alors l'équation n'a pas de solution dans cet intervalle.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 3x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

1
Vérifier la continuité de $f$
La fonction $f(x) = x^3 + 3x - 1$ est une fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, $f$ est continue sur l'intervalle $[0, 1]$.
2
Vérifier la stricte monotonie de $f$
Calculons la dérivée de $f$: $f'(x) = 3x^2 + 3$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geq 0$, donc $3x^2 \geq 0$. Ainsi, $3x^2 + 3 \geq 3 > 0$. La dérivée $f'(x)$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et donc sur l'intervalle $[0, 1]$.
3
Calculer les images des bornes de l'intervalle
Calculons $f(0)$ et $f(1)$:
  • $f(0) = 0^3 + 3 × 0 - 1 = -1$
  • $f(1) = 1^3 + 3 × 1 - 1 = 1 + 3 - 1 = 3$
L'intervalle image de $[0, 1]$ par $f$ est $[-1, 3]$.
4
Conclure sur l'existence et l'unicité de la solution
Nous cherchons à résoudre $f(x) = 0$. La valeur $k=0$ appartient à l'intervalle image $[-1, 3]$ car $-1 \leq 0 \leq 3$.
Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$ et que $0 \in [f(0), f(1)]$, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

L'équation $x^3 + 3x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des conditions

  1. Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné. C'est une condition fondamentale du théorème.
  2. Oublier de vérifier la stricte monotonie. Si la fonction n'est que monotone (non strictement), l'unicité n'est pas garantie.
  3. Ne pas calculer correctement les images des bornes de l'intervalle, ou les limites si l'intervalle est infini, ce qui peut mener à une conclusion erronée sur l'appartenance de $k$ à l'intervalle image.

Exercice type BAC

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - 1 - \ln(x)$.

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0, +\infty[$.
  2. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$.
  3. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ (par exemple, en utilisant la calculatrice).

  1. Étude des variations de $f$:

    La fonction $f$ est définie sur $]0, +\infty[$. Elle est dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables.

    Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1 - \ln(x)) = 1 - \frac{1}{x}$.

    Pour étudier le signe de $f'(x)$, on résout $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1$.

    Si $x \in ]0, 1[$, alors $0 < x < 1 \Rightarrow \frac{1}{x} > 1 \Rightarrow 1 - \frac{1}{x} < 0$. Donc $f'(x) < 0$.

    Si $x \in ]1, +\infty[$, alors $x > 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow 1 - \frac{1}{x} > 0$. Donc $f'(x) > 0$.

    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0, 1]$ et strictement croissante sur $[1, +\infty[$. Elle admet un minimum en $x=1$.

    Calcul des limites aux bornes :

    • $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x - 1 - \ln(x))$. Comme $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$, alors $\lim_{x\to 0^+} (-\ln(x)) = +\infty$. Donc $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$.
    • $\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} (x - 1 - \ln(x)) = \lim_{x\to +\infty} x(1 - \frac{1}{x} - \frac{\ln(x)}{x})$. On sait que $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$. Donc $\lim_{x\to +\infty} (1 - \frac{1}{x} - \frac{\ln(x)}{x}) = 1$. Par conséquent, $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

    Le minimum de $f$ est $f(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0 - 0 = 0$.

  2. Démonstration de l'existence et de l'unicité de la solution de $f(x) = 0$:

    Nous allons appliquer le théorème de la bijection sur deux intervalles distincts : $]0, 1]$ et $[1, +\infty[$.

    Sur l'intervalle $]0, 1]$ :

    • $f$ est continue sur $]0, 1]$ (car dérivable).
    • $f$ est strictement décroissante sur $]0, 1]$.
    • L'image de l'intervalle $]0, 1]$ par $f$ est $[f(1), \lim_{x\to 0^+} f(x)[ = [0, +\infty[$.

    Puisque $0$ appartient à l'intervalle image $[0, +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0, 1]$. Cette solution est $x=1$ car $f(1)=0$.

    Sur l'intervalle $[1, +\infty[$ :

    • $f$ est continue sur $[1, +\infty[$.
    • $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$.
    • L'image de l'intervalle $[1, +\infty[$ par $f$ est $[f(1), \lim_{x\to +\infty} f(x)[ = [0, +\infty[$.

    Puisque $0$ appartient à l'intervalle image $[0, +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[1, +\infty[$. Cette solution est également $x=1$ car $f(1)=0$.

    En conclusion, sur l'intervalle $]0, +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha = 1$.

  3. Encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$:

    D'après la question précédente, $\alpha = 1$. Un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ est par exemple $0.9 < \alpha < 1.1$.

    Si l'on avait cherché une solution non triviale (si $f(1)$ n'était pas 0), on aurait utilisé la calculatrice :

    • $f(0.1) \approx 0.1 - 1 - \ln(0.1) \approx -0.9 - (-2.3) = 1.4$
    • $f(0.5) \approx 0.5 - 1 - \ln(0.5) \approx -0.5 - (-0.69) = 0.19$
    • $f(0.9) \approx 0.9 - 1 - \ln(0.9) \approx -0.1 - (-0.105) = 0.005$
    • $f(1) = 0$
    • $f(1.1) \approx 1.1 - 1 - \ln(1.1) \approx 0.1 - 0.095 = 0.005$

    On voit que $f(0.9) > 0$ et $f(1) = 0$. Donc $\alpha = 1$. Un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ est $0.9 < \alpha < 1.0$ ou $1.0 < \alpha < 1.1$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et le théorème de la bijection ?
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) garantit l'existence d'au moins une solution pour $f(x)=k$ si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$. Le théorème de la bijection (qui est une version renforcée du TVI) ajoute la condition de stricte monotonie, ce qui garantit non seulement l'existence mais aussi l'unicité de la solution.
Peut-on appliquer le théorème de la bijection sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert ?
Oui, le théorème peut être étendu aux intervalles ouverts ou semi-ouverts en utilisant les limites aux bornes. Par exemple, si $f$ est continue et strictement monotone sur $]a, b[$, et que $k$ est compris entre $\lim_{x\to a^+} f(x)$ et $\lim_{x\to b^-} f(x)$, alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $]a, b[$. Il faut juste s'assurer que $k$ est bien dans l'intervalle image.
Que se passe-t-il si la fonction n'est pas strictement monotone ?
Si la fonction n'est pas strictement monotone sur l'intervalle, le théorème de la bijection ne peut pas être appliqué pour garantir l'unicité. L'équation $f(x)=k$ pourrait avoir plusieurs solutions, ou aucune, même si $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$. Le TVI seul garantirait l'existence d'au moins une solution si $f$ est continue.
Comment rédiger la conclusion du théorème de la bijection au BAC ?
La rédaction doit être rigoureuse et inclure toutes les conditions :
« La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$.
De plus, $f$ est strictement monotone (croissante/décroissante) sur $[a, b]$.
L'image de l'intervalle $[a, b]$ par $f$ est $[f(a), f(b)]$ (ou $[f(b), f(a)]$).
Comme $k \in [f(a), f(b)]$, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[a, b]$. »

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →