Espérance d'une variable aléatoire discrète – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

L'espérance d'une variable aléatoire discrète $X$, notée $E(X)$, est la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à obtenir si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire. Si $X$ prend les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités respectives $P(X=x_1), P(X=x_2), \dots, P(X=x_n)$, alors son espérance est définie par la formule : $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) = x_1 P(X=x_1) + x_2 P(X=x_2) + \dots + x_n P(X=x_n)$$

💡 Bon réflexe : Toujours interpréter l'espérance comme une moyenne à long terme et non comme une valeur que la variable aléatoire prendra nécessairement.

Méthode — Espérance d'une variable aléatoire discrète

Étape 1 : Définir la variable aléatoire et ses valeurs possibles

Identifiez clairement la variable aléatoire $X$ étudiée et l'ensemble de toutes les valeurs $x_i$ qu'elle peut prendre. C'est souvent la première étape pour modéliser une situation aléatoire.

Étape 2 : Déterminer la loi de probabilité de $X$

Pour chaque valeur $x_i$ que $X$ peut prendre, calculez la probabilité $P(X=x_i)$. Il est souvent utile de présenter ces résultats dans un tableau pour une meilleure lisibilité. Vérifiez que la somme de toutes les probabilités est égale à 1 : $\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i) = 1$.

Étape 3 : Appliquer la formule de l'espérance

Utilisez la formule $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$. Multipliez chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $P(X=x_i)$ correspondante, puis additionnez tous ces produits.

Étape 4 : Interpréter le résultat

L'espérance $E(X)$ représente la valeur moyenne attendue de $X$ sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Elle n'est pas nécessairement une valeur que $X$ peut prendre réellement. Par exemple, si $X$ est le nombre de faces obtenues en lançant une pièce deux fois, $E(X)=1$ mais on ne peut pas obtenir 1 face.

Exemple résolu

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Si le joueur obtient un 6, il gagne 10 €. S'il obtient un 1, il perd 5 €. Pour tout autre résultat, il ne gagne ni ne perd rien. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.

Définir la variable aléatoire et ses valeurs possibles

La variable aléatoire $X$ représente le gain algébrique du joueur. Les valeurs possibles de $X$ sont :

$x_1 = 10$ (gain de 10 € si le dé donne 6)
$x_2 = -5$ (perte de 5 € si le dé donne 1)
$x_3 = 0$ (ni gain ni perte si le dé donne 2, 3, 4 ou 5)

Déterminer la loi de probabilité de $X$

Le dé est équilibré, donc la probabilité d'obtenir chaque face est de $\frac{1}{6}$.

$P(X=10) = P(\text{obtenir un 6}) = \frac{1}{6}$
$P(X=-5) = P(\text{obtenir un 1}) = \frac{1}{6}$
$P(X=0) = P(\text{obtenir un 2, 3, 4 ou 5}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Vérifions la somme des probabilités : $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{6}{6} = 1$. La loi de probabilité est correcte.

Appliquer la formule de l'espérance

On utilise la formule $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$.$$E(X) = 10 \times P(X=10) + (-5) \times P(X=-5) + 0 \times P(X=0)$$$$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + (-5) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{4}{6}$$$$E(X) = \frac{10}{6} - \frac{5}{6} + 0$$$$E(X) = \frac{5}{6}$$

Interpréter le résultat

L'espérance $E(X) = \frac{5}{6} \approx 0,83$ €. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties jouées, le joueur peut s'attendre à gagner environ 0,83 € par partie. Le jeu est donc favorable au joueur.

L'espérance du gain algébrique du joueur est $E(X) = \frac{5}{6}$ €.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre espérance et valeur possible

L'espérance n'est pas nécessairement une des valeurs que la variable aléatoire peut prendre. C'est une moyenne théorique.
Oublier de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1, ce qui peut indiquer une erreur dans le calcul des probabilités.
Erreur de signe lors du calcul de l'espérance, notamment avec des gains négatifs (pertes).

Exercice type BAC

Une entreprise fabrique des composants électroniques. On estime que 5% des composants produits sont défectueux. Pour contrôler la qualité, on prélève au hasard un échantillon de 3 composants.

On note $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de composants défectueux dans l'échantillon prélevé.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Déterminer la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats dans un tableau.
Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Justification de la loi binomiale :
On répète $n=3$ fois de manière identique et indépendante l'expérience consistant à prélever un composant. À chaque prélèvement, il y a deux issues possibles :
- Succès S : le composant est défectueux, avec une probabilité $p = 0,05$.
- Échec $\overline{S}$ : le composant n'est pas défectueux, avec une probabilité $1-p = 0,95$.
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès (composants défectueux) sur les $n=3$ répétitions. Donc, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,05$, notée $B(3; 0,05)$.
Détermination de la loi de probabilité de $X$ :
Les valeurs possibles de $X$ sont 0, 1, 2, 3.
La probabilité $P(X=k)$ est donnée par la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
- $P(X=0) = \binom{3}{0} (0,05)^0 (0,95)^3 = 1 \times 1 \times (0,95)^3 \approx 0,857375$
- $P(X=1) = \binom{3}{1} (0,05)^1 (0,95)^2 = 3 \times 0,05 \times (0,95)^2 \approx 3 \times 0,05 \times 0,9025 = 0,135375$
- $P(X=2) = \binom{3}{2} (0,05)^2 (0,95)^1 = 3 \times (0,05)^2 \times 0,95 = 3 \times 0,0025 \times 0,95 = 0,007125$
- $P(X=3) = \binom{3}{3} (0,05)^3 (0,95)^0 = 1 \times (0,05)^3 \times 1 = 0,000125$
Tableau de la loi de probabilité de $X$ (valeurs arrondies à $10^{-4}$ près) :
$k$ 0 1 2 3
$P(X=k)$ 0,8574 0,1354 0,0071 0,0001
Vérification : $0,8574 + 0,1354 + 0,0071 + 0,0001 = 1,0000$.
Calcul de l'espérance $E(X)$ et interprétation :
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$, l'espérance est donnée par la formule simple $E(X) = n \times p$.
Ici, $n=3$ et $p=0,05$.
$$E(X) = 3 \times 0,05 = 0,15$$
Interprétation : L'espérance $E(X)=0,15$ signifie qu'en moyenne, sur un très grand nombre d'échantillons de 3 composants prélevés, on s'attend à trouver 0,15 composant défectueux par échantillon. Cela ne signifie pas qu'on trouvera 0,15 composant défectueux dans un échantillon donné (ce qui est impossible), mais c'est la moyenne sur le long terme.

$k$	0	1	2	3
$P(X=k)$	0,8574	0,1354	0,0071	0,0001

Questions fréquentes

L'espérance est-elle toujours un nombre entier ?

Non, l'espérance n'est pas nécessairement un nombre entier. C'est une moyenne, et comme toute moyenne, elle peut être décimale ou fractionnaire, même si la variable aléatoire ne prend que des valeurs entières. Par exemple, l'espérance du nombre de faces en lançant une pièce 3 fois est $E(X) = 1,5$.

Quel est le lien entre l'espérance et la moyenne arithmétique ?

L'espérance est la généralisation de la moyenne arithmétique pondérée pour une variable aléatoire. Si on répète une expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées tend vers l'espérance de la variable aléatoire, selon la loi des grands nombres.

L'espérance peut-elle être négative ?

Oui, l'espérance peut être négative. C'est le cas lorsque les valeurs négatives (par exemple, des pertes dans un jeu) sont plus probables ou plus importantes en magnitude que les valeurs positives (gains). Une espérance négative indique que, en moyenne, on s'attend à une perte.

Comment l'espérance est-elle liée à la variance ?

L'espérance $E(X)$ mesure la tendance centrale de la variable aléatoire. La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. La formule de la variance est $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i)$.

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