Variance et écart-type : définition et calcul – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

La variance $V(X)$ d'une variable aléatoire $X$ est une mesure de la dispersion de ses valeurs autour de son espérance $E(X)$. Elle est définie par $V(X) = E((X - E(X))^2)$. L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance, soit $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, et s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire $X$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que $V(X) \geq 0$ et que l'écart-type est bien la racine carrée de la variance pour éviter les erreurs de calcul ou d'interprétation.

Méthode — Variance et écart-type : définition et calcul

Calculer l'espérance $E(X)$

Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités respectives $p_1, p_2, \dots, p_n$, l'espérance est donnée par la formule : $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$$

Calculer la variance $V(X)$ en utilisant la définition

La variance est définie comme l'espérance des carrés des écarts à la moyenne : $$V(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i$$

Calculer la variance $V(X)$ en utilisant la formule de Koenig-Huygens

Cette formule est souvent plus simple pour les calculs : $$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$ où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \dots + x_n^2 p_n$.

Calculer l'écart-type $\sigma(X)$

L'écart-type est la racine carrée de la variance : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Exemple résolu

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement et sans remise 2 boules de l'urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

Déterminer les valeurs possibles de $X$ et leur probabilité.

L'urne contient 5 boules au total (3 rouges R, 2 bleues B). On tire 2 boules sans remise. Les valeurs possibles pour $X$ (nombre de boules rouges) sont 0, 1 ou 2.

$P(X=0)$ : Tirer 2 boules bleues. $P(B_1 \text{ et } B_2) = P(B_1) \times P(B_2|B_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
$P(X=1)$ : Tirer 1 rouge et 1 bleue (dans n'importe quel ordre). $P(R_1 \text{ et } B_2) + P(B_1 \text{ et } R_2) = (\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}) + (\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
$P(X=2)$ : Tirer 2 boules rouges. $P(R_1 \text{ et } R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Vérification : $\frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = \frac{1+6+3}{10} = \frac{10}{10} = 1$. La loi de probabilité de $X$ est :

$x_i$	0	1	2
$P(X=x_i)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

Calculer l'espérance $E(X)$.

$$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1,2$$

Calculer $E(X^2)$.

$$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{6}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1,8$$

Calculer la variance $V(X)$ en utilisant la formule de Koenig-Huygens.

$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1,8 - (1,2)^2 = 1,8 - 1,44 = 0,36$$

Calculer l'écart-type $\sigma(X)$.

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0,36} = 0,6$$

L'espérance du nombre de boules rouges est $E(X) = 1,2$. La variance est $V(X) = 0,36$ et l'écart-type est $\sigma(X) = 0,6$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$

Ne pas confondre $E(X^2)$ (espérance des carrés des valeurs) avec $(E(X))^2$ (carré de l'espérance). Ce sont deux quantités différentes et une erreur ici faussera le calcul de la variance.
Oublier de prendre la racine carrée pour calculer l'écart-type après avoir calculé la variance. La variance est en unité au carré, l'écart-type est dans la même unité que la variable aléatoire.
Faire des erreurs de calculs avec les fractions ou les décimaux, surtout lors de la somme des produits $x_i p_i$ ou $x_i^2 p_i$.

Exercice type BAC

Une entreprise fabrique des composants électroniques. On estime que la probabilité qu'un composant soit défectueux est de $0,02$. On prélève au hasard un lot de 100 composants.

On considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de composants défectueux dans un lot de 100. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Justifier.
Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Calculer la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ de cette variable aléatoire. Arrondir l'écart-type au centième.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès (composants défectueux) lors de 100 répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli (le composant est défectueux ou non). La probabilité de succès est $p = 0,02$.
Donc, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$. On note $X \sim \mathcal{B}(100; 0,02)$.
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n; p)$, l'espérance est donnée par la formule $E(X) = n \times p$.
Ici, $E(X) = 100 \times 0,02 = 2$.
Interprétation : En moyenne, on s'attend à trouver 2 composants défectueux dans un lot de 100.
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n; p)$, la variance est donnée par la formule $V(X) = n \times p \times (1-p)$.
Ici, $V(X) = 100 \times 0,02 \times (1-0,02) = 100 \times 0,02 \times 0,98 = 2 \times 0,98 = 1,96$.
L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance :
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1,96} = 1,4$$
L'écart-type est de $1,4$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre variance et écart-type ?

La variance $V(X)$ est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance, tandis que l'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance. L'écart-type est plus facile à interpréter car il est dans la même unité que la variable aléatoire, contrairement à la variance qui est en unité au carré.

Pourquoi la formule de Koenig-Huygens est-elle utile ?

La formule de Koenig-Huygens, $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, est souvent plus simple à utiliser pour les calculs car elle évite de devoir calculer les écarts $(x_i - E(X))$ pour chaque valeur, ce qui peut être fastidieux, surtout si $E(X)$ n'est pas un entier.

Peut-on avoir une variance négative ?

Non, la variance est toujours positive ou nulle ($V(X) \geq 0$). En effet, elle est définie comme l'espérance d'une quantité au carré $(X - E(X))^2$, qui est toujours positive ou nulle. Si $V(X) = 0$, cela signifie que la variable aléatoire $X$ prend une seule valeur avec une probabilité de 1.

Comment interpréter une valeur élevée de l'écart-type ?

Un écart-type élevé indique que les valeurs de la variable aléatoire sont très dispersées autour de l'espérance. Inversement, un écart-type faible signifie que les valeurs sont très concentrées autour de l'espérance, indiquant une faible variabilité.

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