Définition
Une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ si sa densité de probabilité $f$ est définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ et $f(x) = 0$ pour $x < 0$. Sa fonction de répartition $F$ est donnée par $F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ et $F(x) = 0$ pour $x < 0$.
Méthode — La loi exponentielle : densité, espérance et absence de mémoire
Calculer des probabilités avec la fonction de répartition
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ :
- $P(X \leq a) = F(a) = 1 - e^{-\lambda a}$ pour $a \geq 0$.
- $P(X > a) = 1 - P(X \leq a) = 1 - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a}$ pour $a \geq 0$.
- $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = (1 - e^{-\lambda b}) - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ pour $0 \leq a \leq b$.
Calculer l'espérance et l'écart-type
L'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $E(X) = \frac{1}{\lambda}$. Elle représente la durée de vie moyenne ou le temps d'attente moyen. L'écart-type est $\sigma(X) = \frac{1}{\lambda}$.
Utiliser la propriété d'absence de mémoire
La loi exponentielle est la seule loi de probabilité continue à posséder la propriété d'absence de mémoire. Cela signifie que pour tous $s > 0$ et $t > 0$, $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$. En d'autres termes, la probabilité qu'un événement se produise dans le futur ne dépend pas de son passé, à condition qu'il n'ait pas encore eu lieu. Cela se traduit par $P(X > s+t \mid X > s) = \frac{P((X > s+t) \cap (X > s))}{P(X > s)} = \frac{P(X > s+t)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t}$.
Déterminer le paramètre $\lambda$ à partir d'une information
Si l'on connaît l'espérance $E(X)$, alors $\lambda = \frac{1}{E(X)}$. Si l'on connaît une probabilité, par exemple $P(X > a) = p$, alors $e^{-\lambda a} = p$, ce qui implique $-\lambda a = \ln(p)$, et donc $\lambda = -\frac{\ln(p)}{a}$.
Exemple résolu
La durée de vie, en années, d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.
On cherche $P(X > 5)$.
En utilisant la formule $P(X > a) = e^{-\lambda a}$ :
$$P(X > 5) = e^{-0,2 \times 5} = e^{-1} \approx 0,368$$
La probabilité que le composant fonctionne plus de 5 ans est d'environ $0,368$.
La durée de vie moyenne est l'espérance $E(X)$.
Pour une loi exponentielle, $E(X) = \frac{1}{\lambda}$.
$$E(X) = \frac{1}{0,2} = 5$$
La durée de vie moyenne du composant est de 5 ans.
On cherche $P(X > 3+2 \mid X > 3)$, ce qui est $P(X > 5 \mid X > 3)$.
En utilisant la propriété d'absence de mémoire $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ avec $s=3$ et $t=2$ :
$$P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2)$$
$$P(X > 2) = e^{-0,2 \times 2} = e^{-0,4} \approx 0,670$$
La probabilité que le composant fonctionne encore au moins 2 ans supplémentaires, sachant qu'il a déjà fonctionné 3 ans, est d'environ $0,670$.
On cherche $t_0$ tel que $P(X \leq t_0) = 0,9$.
En utilisant la fonction de répartition $F(t_0) = 1 - e^{-\lambda t_0}$ :
$$1 - e^{-0,2 t_0} = 0,9$$
$$e^{-0,2 t_0} = 1 - 0,9$$
$$e^{-0,2 t_0} = 0,1$$
On applique le logarithme népérien aux deux membres :
$$-0,2 t_0 = \ln(0,1)$$
$$t_0 = \frac{\ln(0,1)}{-0,2} = \frac{-\ln(10)}{-0,2} = \frac{\ln(10)}{0,2} \approx \frac{2,3025}{0,2} \approx 11,51$$
La durée $t_0$ est d'environ $11,51$ ans.
Les calculs ont permis de déterminer des probabilités de fonctionnement, la durée de vie moyenne et une durée spécifique pour une probabilité donnée, en utilisant les propriétés de la loi exponentielle.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec la loi géométrique
- Ne pas confondre la loi exponentielle (continue, temps d'attente) avec la loi géométrique (discrète, nombre d'essais avant le premier succès). Les deux ont une propriété d'absence de mémoire, mais s'appliquent à des contextes différents.
- Oublier que la densité de probabilité $f(x)$ n'est pas une probabilité. $P(X=x)=0$ pour une loi continue. Les probabilités sont calculées par intégration de la densité ou via la fonction de répartition.
- Erreur de signe lors de l'utilisation du logarithme pour trouver $\lambda$ ou $t$. Rappelle-toi que $\ln(e^A) = A$ et que $\ln(p)$ est négatif si $0 < p < 1$.
Exercice type BAC
Un système informatique est sujet à des pannes. La durée de fonctionnement, en heures, entre deux pannes consécutives est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que la durée de fonctionnement moyenne entre deux pannes est de 200 heures.
Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$.
Calculer la probabilité que le système fonctionne sans panne pendant au moins 300 heures.
Le système a déjà fonctionné sans panne pendant 150 heures. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 100 heures supplémentaires sans panne ? Justifier la réponse.
Détermination du paramètre $\lambda$ :
On sait que la durée de fonctionnement moyenne est de 200 heures. Pour une loi exponentielle, l'espérance $E(T)$ est donnée par $E(T) = \frac{1}{\lambda}$.
Donc, $200 = \frac{1}{\lambda}$.
En résolvant pour $\lambda$, on obtient $\lambda = \frac{1}{200} = 0,005$.
Le paramètre de la loi exponentielle est $\lambda = 0,005$.
Calcul de la probabilité que le système fonctionne sans panne pendant au moins 300 heures :
On cherche $P(T > 300)$.
Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\lambda t}$.
$$P(T > 300) = e^{-0,005 \times 300}$$
$$P(T > 300) = e^{-1,5}$$
$$P(T > 300) \approx 0,223$$
La probabilité que le système fonctionne sans panne pendant au moins 300 heures est d'environ $0,223$ (ou $22,3\%$).
Probabilité de fonctionner encore au moins 100 heures supplémentaires, sachant qu'il a déjà fonctionné 150 heures :
On cherche $P(T > 150+100 \mid T > 150)$, c'est-à-dire $P(T > 250 \mid T > 150)$.
La loi exponentielle possède la propriété d'absence de mémoire. Cela signifie que la probabilité que le système fonctionne encore $t$ heures ne dépend pas du temps $s$ qu'il a déjà fonctionné. Formellement, $P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t)$.
Ici, $s = 150$ heures et $t = 100$ heures.
Donc, $P(T > 250 \mid T > 150) = P(T > 100)$.
Calculons $P(T > 100)$ :
$$P(T > 100) = e^{-0,005 \times 100}$$
$$P(T > 100) = e^{-0,5}$$
$$P(T > 100) \approx 0,607$$
La probabilité que le système fonctionne encore au moins 100 heures supplémentaires sans panne, sachant qu'il a déjà fonctionné 150 heures, est d'environ $0,607$ (ou $60,7\%$).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une loi exponentielle et une loi de Poisson ?
Pourquoi la loi exponentielle est-elle dite 'sans mémoire' ?
Comment interpréter le paramètre $\lambda$ ?
Peut-on avoir une loi exponentielle avec $\lambda < 0$ ?
Pour aller plus loin
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