La loi uniforme sur [a, b] : densité et calculs – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelle est la différence entre une loi uniforme discrète et une loi uniforme continue ?

Une loi uniforme discrète s'applique à des variables aléatoires qui prennent un nombre fini de valeurs, chacune avec la même probabilité. Par exemple, le lancer d'un dé équilibré. Une loi uniforme continue s'applique à des variables aléatoires qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné, et est caractérisée par une fonction de densité constante sur cet intervalle.

Q: Pourquoi la fonction de densité est-elle égale à $\frac{1}{b-a}$ ?

La fonction de densité $f(x)$ doit satisfaire deux conditions : $f(x) \geq 0$ pour tout $x$, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$. Pour une loi uniforme sur $[a, b]$, $f(x)$ est une constante $k$ sur cet intervalle et $0$ ailleurs. L'intégrale de $k$ sur $[a, b]$ est $k × (b-a)$. Pour que cette intégrale soit égale à $1$, il faut que $k × (b-a) = 1$, d'où $k = \frac{1}{b-a}$.

Q: Comment calculer la fonction de répartition $F(x)$ pour une loi uniforme ?

La fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ est l'intégrale de la fonction de densité $f(t)$ de $-\infty$ à $x$. Pour une loi uniforme sur $[a, b]$ :Si $x Si $a \leq x \leq b$, $F(x) = \int_{-\infty}^a 0\,dt + \int_a^x \frac{1}{b-a}\,dt = 0 + \left[\frac{t}{b-a}\right]_a^x = \frac{x-a}{b-a}$.Si $x > b$, $F(x) = \int_{-\infty}^a 0\,dt + \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dt + \int_b^x 0\,dt = 0 + 1 + 0 = 1$.

Définition

Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $[a, b]$ (avec $a < b$) si sa fonction de densité $f$ est définie par :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a, b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \geq 0$, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dx = \left[\frac{x}{b-a}\right]_a^b = \frac{b}{b-a} - \frac{a}{b-a} = \frac{b-a}{b-a} = 1$.

La probabilité qu'une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur $[a, b]$ prenne une valeur dans un sous-intervalle $[c, d]$ de $[a, b]$ est donnée par $P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que les bornes de l'intervalle de probabilité demandé sont bien incluses dans l'intervalle $[a, b]$ de la loi uniforme, et ajuster si nécessaire.

Méthode — La loi uniforme sur [a, b] : densité et calculs

Identifier les paramètres de la loi uniforme

Déterminez l'intervalle $[a, b]$ sur lequel la variable aléatoire $X$ est uniformément distribuée. Ces valeurs $a$ et $b$ sont cruciales pour tous les calculs ultérieurs.

Écrire la fonction de densité

Une fois $a$ et $b$ identifiés, la fonction de densité $f(x)$ est définie par $f(x) = \frac{1}{b-a}$ pour $x \in [a, b]$ et $f(x) = 0$ sinon. Cette fonction est la base de tous les calculs de probabilités.

Calculer une probabilité $P(c \leq X \leq d)$

Pour calculer la probabilité que $X$ prenne une valeur dans un sous-intervalle $[c, d]$ (où $a \leq c \leq d \leq b$), utilisez la formule $P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x)\,dx = \int_c^d \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{d-c}{b-a}$. Si l'intervalle $[c, d]$ sort de $[a, b]$, il faut adapter les bornes d'intégration à l'intersection avec $[a, b]$. Par exemple, $P(X \leq d) = P(a \leq X \leq d)$ si $d \in [a, b]$. Rappelez-vous que $P(X=x_0)=0$ pour une loi à densité.

Calculer l'espérance et la variance (si demandé)

L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a, b]$ est $E(X) = \frac{a+b}{2}$. La variance $V(X)$ est $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$. Ces formules sont souvent données ou à retrouver par intégration.

Exemple résolu

Un bus passe à un arrêt toutes les 15 minutes. On suppose que l'heure d'arrivée du bus est une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[0, 15]$ (en minutes, à partir d'une heure de référence).

Identifier les paramètres de la loi uniforme.

L'intervalle sur lequel le bus peut arriver est de 15 minutes. Donc, $a=0$ et $b=15$. La variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[0, 15]$.

Écrire la fonction de densité.

La fonction de densité $f(x)$ est donnée par :$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{15-0} = \frac{1}{15} & \text{si } x \in [0, 15] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

Calculer la probabilité que le bus arrive entre la 5ème et la 10ème minute.

On cherche $P(5 \leq X \leq 10)$. En utilisant la formule $P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}$ :$$P(5 \leq X \leq 10) = \frac{10-5}{15-0} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Calculer la probabilité que le bus arrive après la 12ème minute.

On cherche $P(X > 12)$. Puisque $X$ est une variable aléatoire continue, $P(X > 12) = P(X \geq 12)$. L'intervalle pertinent est $[12, 15]$.$$P(X > 12) = \frac{15-12}{15-0} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$$

Calculer l'espérance de l'heure d'arrivée du bus.

L'espérance $E(X)$ est donnée par la formule $E(X) = \frac{a+b}{2}$.$$E(X) = \frac{0+15}{2} = 7.5$$L'heure moyenne d'arrivée du bus est de 7.5 minutes après l'heure de référence.

La probabilité que le bus arrive entre la 5ème et la 10ème minute est de $\frac{1}{3}$. La probabilité qu'il arrive après la 12ème minute est de $\frac{1}{5}$. L'heure moyenne d'arrivée du bus est de $7.5$ minutes.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Bornes d'intégration et probabilité ponctuelle

Oublier que pour une loi à densité, $P(X=x_0) = 0$. Ainsi, $P(c \leq X \leq d) = P(c < X < d) = P(c \leq X < d) = P(c < X \leq d)$. Les inégalités strictes ou larges n'ont pas d'importance pour les bornes.
Mal définir les bornes d'intégration lorsque l'intervalle de probabilité demandé sort de l'intervalle $[a, b]$ de la loi uniforme. Par exemple, $P(X \leq d)$ avec $d < a$ est $0$, et $P(X \leq d)$ avec $d > b$ est $1$.
Confondre la fonction de densité $f(x)$ avec la fonction de répartition $F(x)$. La fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ est $\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$. Pour une loi uniforme sur $[a, b]$, $F(x) = 0$ si $x < a$, $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ si $x \in [a, b]$, et $F(x) = 1$ si $x > b$.

Exercice type BAC

Une machine fabrique des pièces dont la longueur (en cm) est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[19.8, 20.2]$.

Donner la fonction de densité de probabilité de $X$.
Calculer la probabilité qu'une pièce ait une longueur comprise entre $19.9$ cm et $20.1$ cm.
Une pièce est considérée comme défectueuse si sa longueur est inférieure à $19.85$ cm ou supérieure à $20.15$ cm. Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

La variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[a, b] = [19.8, 20.2]$.
La fonction de densité $f(x)$ est donnée par :
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a, b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$
Ici, $b-a = 20.2 - 19.8 = 0.4$.
Donc, la fonction de densité est :
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{0.4} = 2.5 & \text{si } x \in [19.8, 20.2] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$
On cherche la probabilité qu'une pièce ait une longueur comprise entre $19.9$ cm et $20.1$ cm, c'est-à-dire $P(19.9 \leq X \leq 20.1)$.
Puisque $[19.9, 20.1]$ est un sous-intervalle de $[19.8, 20.2]$, on utilise la formule :
$$P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}$$
Ici, $c=19.9$, $d=20.1$, $a=19.8$, $b=20.2$.
$$P(19.9 \leq X \leq 20.1) = \frac{20.1 - 19.9}{20.2 - 19.8} = \frac{0.2}{0.4} = \frac{1}{2} = 0.5$$
La probabilité qu'une pièce ait une longueur comprise entre $19.9$ cm et $20.1$ cm est de $0.5$.
Une pièce est défectueuse si sa longueur est inférieure à $19.85$ cm ou supérieure à $20.15$ cm.
On cherche $P(X < 19.85 \text{ ou } X > 20.15)$.
Puisque les événements $(X < 19.85)$ et $(X > 20.15)$ sont disjoints, on a :
$$P(X < 19.85 \text{ ou } X > 20.15) = P(X < 19.85) + P(X > 20.15)$$
Calculons $P(X < 19.85)$ :
L'intervalle de la loi uniforme est $[19.8, 20.2]$. Donc, $P(X < 19.85) = P(19.8 \leq X < 19.85)$.
$$P(19.8 \leq X < 19.85) = \frac{19.85 - 19.8}{20.2 - 19.8} = \frac{0.05}{0.4} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125$$
Calculons $P(X > 20.15)$ :
L'intervalle de la loi uniforme est $[19.8, 20.2]$. Donc, $P(X > 20.15) = P(20.15 < X \leq 20.2)$.
$$P(20.15 < X \leq 20.2) = \frac{20.2 - 20.15}{20.2 - 19.8} = \frac{0.05}{0.4} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125$$
La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est :
$$P(\text{défectueuse}) = 0.125 + 0.125 = 0.25$$
La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est de $0.25$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une loi uniforme discrète et une loi uniforme continue ?

Une loi uniforme discrète s'applique à des variables aléatoires qui prennent un nombre fini de valeurs, chacune avec la même probabilité. Par exemple, le lancer d'un dé équilibré. Une loi uniforme continue s'applique à des variables aléatoires qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné, et est caractérisée par une fonction de densité constante sur cet intervalle.

Pourquoi la fonction de densité est-elle égale à $\frac{1}{b-a}$ ?

La fonction de densité $f(x)$ doit satisfaire deux conditions : $f(x) \geq 0$ pour tout $x$, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$. Pour une loi uniforme sur $[a, b]$, $f(x)$ est une constante $k$ sur cet intervalle et $0$ ailleurs. L'intégrale de $k$ sur $[a, b]$ est $k × (b-a)$. Pour que cette intégrale soit égale à $1$, il faut que $k × (b-a) = 1$, d'où $k = \frac{1}{b-a}$.

Comment calculer la fonction de répartition $F(x)$ pour une loi uniforme ?

La fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ est l'intégrale de la fonction de densité $f(t)$ de $-\infty$ à $x$. Pour une loi uniforme sur $[a, b]$ :

Si $x < a$, $F(x) = \int_{-\infty}^x 0\,dt = 0$.
Si $a \leq x \leq b$, $F(x) = \int_{-\infty}^a 0\,dt + \int_a^x \frac{1}{b-a}\,dt = 0 + \left[\frac{t}{b-a}\right]_a^x = \frac{x-a}{b-a}$.
Si $x > b$, $F(x) = \int_{-\infty}^a 0\,dt + \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dt + \int_b^x 0\,dt = 0 + 1 + 0 = 1$.

Est-ce que $P(X=x_0)$ est toujours nul pour une loi à densité ?

Oui, pour toute variable aléatoire continue (qui suit une loi à densité), la probabilité qu'elle prenne une valeur exacte $x_0$ est toujours nulle. C'est une conséquence du fait que la probabilité est représentée par une aire sous la courbe de densité, et l'aire d'un segment vertical (correspondant à un point) est nulle. C'est pourquoi $P(c \leq X \leq d)$, $P(c < X < d)$, etc., sont toutes égales.

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