Opérations sur les limites de suites – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Les opérations sur les limites de suites permettent de déterminer la limite d'une suite construite à partir d'autres suites dont les limites sont connues. Ces règles s'appliquent aux sommes, produits, quotients et compositions de suites, en distinguant les cas où les limites sont finies ou infinies, et en identifiant les formes indéterminées ($$+\infty - \infty$$, $$0 × \infty$$, $$\frac{\infty}{\infty}$$, $$\frac{0}{0}$$).

💡 Bon réflexe : Face à une limite de suite, toujours identifier la forme de l'opération et vérifier la présence de formes indéterminées avant de conclure.

Méthode — Opérations sur les limites de suites

Identifier la forme de l'opération

Déterminez si la suite dont vous cherchez la limite est une somme, un produit, un quotient ou une composition de suites. Pour chaque suite composante, trouvez sa limite si elle existe.

Appliquer les règles des opérations sur les limites

Utilisez les tableaux des opérations sur les limites (somme, produit, quotient) pour déterminer la limite de la suite résultante. Soyez attentif aux cas où une limite est infinie.

Gérer les formes indéterminées

Si vous rencontrez une forme indéterminée ($$+\infty - \infty$$, $$0 × \infty$$, $$\frac{\infty}{\infty}$$, $$\frac{0}{0}$$), il est nécessaire de transformer l'expression de la suite. Les techniques courantes incluent la factorisation par le terme de plus haut degré, la multiplication par l'expression conjuguée, ou l'utilisation de croissances comparées.

Conclure sur la limite de la suite

Une fois la forme indéterminée levée ou les règles appliquées directement, énoncez clairement la limite de la suite. Si la limite est finie, précisez sa valeur. Si elle est infinie, indiquez si c'est $$+\infty$$ ou $$-\infty$$. Si la suite n'a pas de limite, mentionnez-le.

Exemple résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$u_n = \frac{3n^2 - 2n + 1}{n^2 + 5}$$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $$+\infty$$.

Identifier les limites du numérateur et du dénominateur

Le numérateur est $P(n) = 3n^2 - 2n + 1$. C'est un polynôme de degré 2. Sa limite est celle de son terme de plus haut degré: $$\lim_{n\to+\infty} (3n^2) = +\infty$$.
Le dénominateur est $Q(n) = n^2 + 5$. C'est un polynôme de degré 2. Sa limite est celle de son terme de plus haut degré: $$\lim_{n\to+\infty} (n^2) = +\infty$$.
On a donc une forme indéterminée de type $$\frac{\infty}{\infty}$$.

Lever la forme indéterminée par factorisation

Pour lever la forme indéterminée $$\frac{\infty}{\infty}$$ dans le cas d'un quotient de polynômes, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
$$u_n = \frac{n^2(3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^2(1 + \frac{5}{n^2})}$$
On peut simplifier par $n^2$ (pour $n \neq 0$):
$$u_n = \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}}$$

Calculer les limites des termes restants

On calcule les limites de chaque terme lorsque $n \to +\infty$:
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{n} = 0$$
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2} = 0$$
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{5}{n^2} = 0$$

Appliquer les règles sur les limites pour conclure

En utilisant les règles de somme et de quotient des limites:
$$\lim_{n\to+\infty} (3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}) = 3 - 0 + 0 = 3$$
$$\lim_{n\to+\infty} (1 + \frac{5}{n^2}) = 1 + 0 = 1$$
Donc, par quotient des limites:
$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{3}{1} = 3$$

La limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $$+\infty$$ est $$3$$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Formes indéterminées

Oublier de vérifier si une forme est indéterminée avant d'appliquer les règles, ce qui peut conduire à des erreurs (ex: $$\infty - \infty$$ n'est pas 0).
Mal identifier le terme de plus haut degré dans une expression polynomiale ou rationnelle, ou ne pas factoriser correctement.
Confondre les règles des limites pour les produits et les quotients, notamment avec 0 et l'infini (ex: $$0 × \infty$$ est une forme indéterminée, pas toujours 0).

Exercice type BAC

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $$u_n = \frac{n^2 + 2n - 1}{2n^2 + 3}$$ et la suite $(v_n)$ définie par $$v_n = \ln(u_n)$$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $$+\infty$$.
En déduire la limite de la suite $(v_n)$ lorsque $n$ tend vers $$+\infty$$.
On considère la suite $(w_n)$ définie par $$w_n = n - \sqrt{n^2 + 2n}$$. Déterminer la limite de la suite $(w_n)$ lorsque $n$ tend vers $$+\infty$$.

Déterminons la limite de la suite $(u_n)$ :
La suite $(u_n)$ est un quotient de polynômes. On cherche les limites du numérateur et du dénominateur :
- $$\lim_{n\to+\infty} (n^2 + 2n - 1) = \lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$$
- $$\lim_{n\to+\infty} (2n^2 + 3) = \lim_{n\to+\infty} 2n^2 = +\infty$$
On est face à une forme indéterminée de type $$\frac{\infty}{\infty}$$. Pour la lever, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
$$u_n = \frac{n^2(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2})}{n^2(2 + \frac{3}{n^2})} = \frac{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n^2}}$$
Calculons les limites des termes :
- $$\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{n} = 0$$
- $$\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2} = 0$$
- $$\lim_{n\to+\infty} \frac{3}{n^2} = 0$$
Donc, par somme des limites :
- $$\lim_{n\to+\infty} (1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}) = 1 + 0 - 0 = 1$$
- $$\lim_{n\to+\infty} (2 + \frac{3}{n^2}) = 2 + 0 = 2$$
Finalement, par quotient des limites :
$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{1}{2}$$
Déduisons la limite de la suite $(v_n)$ :
On sait que $$v_n = \ln(u_n)$$. C'est une composition de fonctions. Nous avons trouvé que $$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{1}{2}$$.
La fonction logarithme népérien $\ln(x)$ est continue en $$\frac{1}{2}$$.
Donc, par composition des limites :
$$\lim_{n\to+\infty} v_n = \lim_{n\to+\infty} \ln(u_n) = \ln(\lim_{n\to+\infty} u_n) = \ln(\frac{1}{2})$$
$$\lim_{n\to+\infty} v_n = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2)$$
Déterminons la limite de la suite $(w_n)$ :
La suite $(w_n)$ est définie par $$w_n = n - \sqrt{n^2 + 2n}$$.
Calculons les limites des termes :
- $$\lim_{n\to+\infty} n = +\infty$$
- $$\lim_{n\to+\infty} (n^2 + 2n) = \lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$$, donc $$\lim_{n\to+\infty} \sqrt{n^2 + 2n} = +\infty$$
On est face à une forme indéterminée de type $$+\infty - \infty$$. Pour la lever, on utilise la technique de la multiplication par l'expression conjuguée :
$$w_n = (n - \sqrt{n^2 + 2n}) × \frac{n + \sqrt{n^2 + 2n}}{n + \sqrt{n^2 + 2n}}$$
$$w_n = \frac{n^2 - (n^2 + 2n)}{n + \sqrt{n^2 + 2n}}$$
$$w_n = \frac{n^2 - n^2 - 2n}{n + \sqrt{n^2 + 2n}}$$
$$w_n = \frac{-2n}{n + \sqrt{n^2 + 2n}}$$
Maintenant, factorisons le dénominateur par $n$ :
$$\sqrt{n^2 + 2n} = \sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n})} = \sqrt{n^2} \sqrt{1 + \frac{2}{n}}$$
Puisque $n \geq 1$, $\sqrt{n^2} = n$.
$$\sqrt{n^2 + 2n} = n\sqrt{1 + \frac{2}{n}}$$
Donc le dénominateur devient :
$$n + n\sqrt{1 + \frac{2}{n}} = n(1 + \sqrt{1 + \frac{2}{n}})$$
On peut réécrire $w_n$ :
$$w_n = \frac{-2n}{n(1 + \sqrt{1 + \frac{2}{n}})} = \frac{-2}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}$$
Calculons les limites des termes :
- $$\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{n} = 0$$
- $$\lim_{n\to+\infty} (1 + \frac{2}{n}) = 1 + 0 = 1$$
- $$\lim_{n\to+\infty} \sqrt{1 + \frac{2}{n}} = \sqrt{1} = 1$$ (par continuité de la fonction racine carrée)
Donc, par somme des limites au dénominateur :
$$\lim_{n\to+\infty} (1 + \sqrt{1 + \frac{2}{n}}) = 1 + 1 = 2$$
Finalement, par quotient des limites :
$$\lim_{n\to+\infty} w_n = \frac{-2}{2} = -1$$

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

Une forme indéterminée est une situation où les règles directes d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Il existe quatre formes indéterminées principales : $$+\infty - \infty$$, $$0 × \infty$$, $$\frac{\infty}{\infty}$$ et $$\frac{0}{0}$$. Elles nécessitent une transformation de l'expression de la suite pour lever l'indétermination.

Comment lever une forme indéterminée de type $$\frac{\infty}{\infty}$$ pour un quotient de polynômes ?

Pour un quotient de polynômes, la forme indéterminée $$\frac{\infty}{\infty}$$ se lève en factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré. Après simplification, la limite est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré si les degrés sont égaux, ou $$0$$ ou $$\pm\infty$$ si les degrés sont différents.

Comment lever une forme indéterminée de type $$+\infty - \infty$$ impliquant des racines carrées ?

Pour les expressions de la forme $$A - B$$ où $A \to +\infty$ et $B \to +\infty$ (souvent avec des racines carrées), on multiplie et divise par l'expression conjuguée $A+B$. Cela transforme l'expression en $$\frac{A^2 - B^2}{A+B}$$, ce qui permet souvent de lever l'indétermination.

Les règles d'opérations sur les limites sont-elles les mêmes pour les fonctions et les suites ?

Oui, les règles d'opérations sur les limites sont fondamentalement les mêmes pour les suites et les fonctions. La principale différence est que pour les suites, la variable $n$ tend toujours vers $$+\infty$$ (car $n$ est un entier naturel), tandis que pour les fonctions, $x$ peut tendre vers un réel fini, $$+\infty$$ ou $$-\infty$$.

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