Définition
Les théorèmes de comparaison permettent de déterminer la limite d'une suite $(u_n)$ en la comparant à d'autres suites dont la limite est connue. On distingue principalement le théorème des gendarmes et les théorèmes de minoration/majoration.
Méthode — Théorèmes de comparaison des suites (gendarmes, minoration)
Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. Si, à partir d'un certain rang $N$, on a $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si $\lim_{n\to+\infty} v_n = L$ et $\lim_{n\to+\infty} w_n = L$ (où $L$ est un réel), alors $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$.
Méthode :
- Encadrer la suite $(u_n)$ par deux autres suites $(v_n)$ et $(w_n)$.
- Calculer les limites de $(v_n)$ et $(w_n)$.
- Si ces limites sont égales à un réel $L$, conclure que $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$ par le théorème des gendarmes.
Théorème de minoration (divergence vers $+\infty$)
Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Si, à partir d'un certain rang $N$, on a $u_n \geq v_n$ et si $\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
Méthode :
- Minoriser la suite $(u_n)$ par une suite $(v_n)$ dont la limite est $+\infty$.
- Conclure que $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
Théorème de majoration (divergence vers $-\infty$)
Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Si, à partir d'un certain rang $N$, on a $u_n \leq v_n$ et si $\lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty$.
Méthode :
- Majoriser la suite $(u_n)$ par une suite $(v_n)$ dont la limite est $-\infty$.
- Conclure que $\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty$.
Application aux suites définies par une somme ou une intégrale
Ces théorèmes sont particulièrement utiles pour les suites définies par une somme ou une intégrale où le calcul direct de la limite est difficile. Il s'agit souvent de trouver un encadrement ou une minoration/majoration de chaque terme de la somme ou de la fonction sous l'intégrale.
Exemple résolu
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k}$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Le terme général de la somme est $a_k = \frac{n}{n^2+k}$. Pour $k$ variant de $1$ à $n$, on a $1 \leq k \leq n$.
Pour $1 \leq k \leq n$, on a :
- $n^2+1 \leq n^2+k \leq n^2+n$
- En prenant l'inverse (les termes sont positifs) : $\frac{1}{n^2+n} \leq \frac{1}{n^2+k} \leq \frac{1}{n^2+1}$
- En multipliant par $n$ (qui est positif) : $\frac{n}{n^2+n} \leq \frac{n}{n^2+k} \leq \frac{n}{n^2+1}$
Ainsi, pour chaque terme de la somme, on a l'encadrement : $\frac{n}{n(n+1)} \leq \frac{n}{n^2+k} \leq \frac{n}{n^2+1}$.
Soit : $\frac{1}{n+1} \leq \frac{n}{n^2+k} \leq \frac{n}{n^2+1}$.
La somme $u_n$ contient $n$ termes (de $k=1$ à $n$). En sommant l'encadrement pour $k$ allant de $1$ à $n$, on obtient :
$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+1}$
Calculons les sommes des bornes :
- Borne inférieure : $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1} = n \times \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$
- Borne supérieure : $\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+1} = n \times \frac{n}{n^2+1} = \frac{n^2}{n^2+1}$
Donc, on a l'encadrement : $\frac{n}{n+1} \leq u_n \leq \frac{n^2}{n^2+1}$.
- Pour la borne inférieure : $\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$.
- Pour la borne supérieure : $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{n^2(1+\frac{1}{n^2})} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} = 1$.
Puisque $\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n+1} = 1$ et $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1$, d'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$.
La limite de la suite $(u_n)$ est $1$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des conditions d'application
- Oublier de vérifier que l'encadrement est valable à partir d'un certain rang (souvent $n \geq 1$ ou $n \geq 0$).
- Ne pas s'assurer que les deux suites encadrantes ont la MÊME limite réelle pour le théorème des gendarmes.
- Confondre minoration pour $+\infty$ et majoration pour $-\infty$ : une minoration ne peut pas prouver une limite finie ou $-\infty$, et une majoration ne peut pas prouver une limite finie ou $+\infty$.
- Faire des erreurs de calcul lors de l'encadrement ou du passage à la limite des suites encadrantes.
Exercice type BAC
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$.
- Montrer que pour tout $n \geq 1$, on a $-\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{1}{n}$.
- En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $v_n = n + \cos(n)$.
- Montrer que pour tout $n \geq 1$, on a $v_n \geq n-1$.
- En déduire la limite de la suite $(v_n)$.
Pour tout entier naturel $n \geq 1$, on sait que la fonction sinus est bornée entre $-1$ et $1$. Ainsi, pour tout $n \geq 1$, on a :
$-1 \leq \sin(n) \leq 1$
Puisque $n \geq 1$, $n$ est un nombre strictement positif. On peut donc diviser l'inégalité par $n$ sans changer le sens des inégalités :
$\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}$
Donc, pour tout $n \geq 1$, on a bien $-\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{1}{n}$.
Nous avons l'encadrement $-\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{1}{n}$.
Calculons les limites des suites encadrantes :
- $\lim_{n\to+\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0$
- $\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{1}{n}\right) = 0$
Puisque les deux suites encadrantes convergent vers la même limite $0$, d'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.
Pour tout entier naturel $n \geq 1$, on sait que la fonction cosinus est bornée entre $-1$ et $1$. Ainsi, pour tout $n \geq 1$, on a :
$-1 \leq \cos(n) \leq 1$
En ajoutant $n$ à tous les membres de l'inégalité, on obtient :
$n-1 \leq n+\cos(n) \leq n+1$
Donc, pour tout $n \geq 1$, on a bien $v_n \geq n-1$.
Nous avons la minoration $v_n \geq n-1$.
Calculons la limite de la suite minorante :
$\lim_{n\to+\infty} (n-1) = +\infty$
Puisque $v_n$ est minorée par une suite qui tend vers $+\infty$, d'après le théorème de minoration, on peut conclure que $\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$.
Questions fréquentes
Quand utiliser le théorème des gendarmes plutôt qu'une minoration/majoration ?
Est-ce que l'encadrement doit être valable dès $n=0$ ou $n=1$ ?
Peut-on utiliser ces théorèmes si les limites des suites encadrantes sont différentes ?
Comment trouver les suites encadrantes ou minorantes/majorantes ?
Pour aller plus loin
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