Définition
Le théorème de Pythagore est une propriété fondamentale des triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes).
Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
où $BC$ est l'hypoténuse, et $AB$ et $AC$ sont les cathètes.
Méthode — Le théorème de Pythagore : calculer un côté
1. Identifier le triangle rectangle et ses côtés
Assurez-vous que le triangle est bien rectangle et identifiez l'angle droit. Nommez les sommets du triangle (par exemple, $A$, $B$, $C$). Identifiez l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) et les deux autres côtés (les cathètes).
2. Écrire la formule du théorème de Pythagore
Une fois les côtés identifiés, écrivez la formule du théorème de Pythagore en remplaçant les noms des côtés par leurs lettres correspondantes. Par exemple, si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, la formule est $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
3. Remplacer les valeurs connues
Substituez les longueurs des côtés que vous connaissez dans la formule. Il vous restera une seule inconnue, qui est la longueur du côté que vous cherchez à calculer.
4. Résoudre l'équation
Effectuez les calculs pour isoler le carré du côté inconnu. Ensuite, prenez la racine carrée du résultat pour trouver la longueur du côté. N'oubliez pas l'unité de mesure et, si nécessaire, d'arrondir à la précision demandée.
Exemple résolu
Soit un triangle $RST$ rectangle en $S$. On connaît les longueurs $RS = 3$ cm et $ST = 4$ cm. Calculons la longueur de l'hypoténuse $RT$.
La longueur de l'hypoténuse $RT$ est de $5$ cm.
⚠️ Confondre l'hypoténuse et les cathètes
- Ne pas identifier correctement l'hypoténuse.
- L'hypoténuse est TOUJOURS le côté le plus long et TOUJOURS opposé à l'angle droit.
- Si vous cherchez une cathète, la formule sera $côté\_inconnu^2 = hypoténuse^2 - autre\_cathète^2$.
- Par exemple, si on cherche $AB$ dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, la formule est $AB^2 = BC^2 - AC^2$.
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Exercice type Brevet
Exercice : Calculer la longueur d'un côté
1. Soit un triangle $DEF$ rectangle en $E$. On sait que $DE = 6$ cm et $EF = 8$ cm. Calculez la longueur de l'hypoténuse $DF$.
2. Soit un triangle $GHI$ rectangle en $H$. On sait que l'hypoténuse $GI = 13$ cm et le côté $GH = 5$ cm. Calculez la longueur du côté $HI$.
Correction de l'exercice
1. Calcul de $DF$ :
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$. D'après le théorème de Pythagore :
$$DF^2 = DE^2 + EF^2$$
$$DF^2 = 6^2 + 8^2$$
$$DF^2 = 36 + 64$$
$$DF^2 = 100$$
$$DF = \sqrt{100}$$
$$DF = 10 \text{ cm}$$
La longueur de l'hypoténuse $DF$ est $10$ cm.
2. Calcul de $HI$ :
Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :
$$GI^2 = GH^2 + HI^2$$
On cherche $HI$, donc on réarrange la formule :
$$HI^2 = GI^2 - GH^2$$
$$HI^2 = 13^2 - 5^2$$
$$HI^2 = 169 - 25$$
$$HI^2 = 144$$
$$HI = \sqrt{144}$$
$$HI = 12 \text{ cm}$$
La longueur du côté $HI$ est $12$ cm.
Questions fréquentes
Le théorème de Pythagore fonctionne-t-il pour tous les triangles ?
Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?
Que signifie $a^2$ ?
Dois-je toujours prendre la racine carrée à la fin ?
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