Définition
Le théorème de Pythagore est une propriété fondamentale des triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Plus précisément, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes).
Si un triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{C}$, alors la relation de Pythagore s'écrit : $$ \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 $$ où $\text{AB}$ est l'hypoténuse, et $\text{AC}$ et $\text{BC}$ sont les cathètes.
Méthode — Le théorème de Pythagore : calculer l'hypoténuse
Identifier le triangle rectangle et l'hypoténuse
Assurez-vous que le triangle est bien un triangle rectangle. L'hypoténuse est toujours le côté le plus long et celui qui est opposé à l'angle droit. Les deux autres côtés sont appelés les cathètes.
Écrire la formule du théorème de Pythagore
Si le triangle est $\text{ABC}$ et qu'il est rectangle en $\text{C}$, alors l'hypoténuse est $\text{AB}$. La formule s'écrit : $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2$.
Substituer les valeurs connues
Remplacez les longueurs des cathètes (les côtés de l'angle droit) par leurs valeurs numériques dans la formule.
Calculer le carré de l'hypoténuse
Effectuez les calculs pour trouver la valeur de $\text{AB}^2$ (ou le carré de l'hypoténuse).
Calculer la longueur de l'hypoténuse
Pour trouver la longueur de l'hypoténuse $\text{AB}$, prenez la racine carrée du résultat obtenu à l'étape précédente : $\text{AB} = \sqrt{\text{AC}^2 + \text{BC}^2}$.
Exemple résolu
Soit un triangle $\text{DEF}$ rectangle en $\text{E}$. On sait que $\text{DE} = 6 \text{ cm}$ et $\text{EF} = 8 \text{ cm}$. Calculons la longueur de l'hypoténuse $\text{DF}$.
1. Le triangle $\text{DEF}$ est rectangle en $\text{E}$.
2. D'après le théorème de Pythagore, nous avons : $$ \text{DF}^2 = \text{DE}^2 + \text{EF}^2 $$ 3. Substituons les valeurs : $$ \text{DF}^2 = 6^2 + 8^2 $$ $$ \text{DF}^2 = 36 + 64 $$ $$ \text{DF}^2 = 100 $$ 4. Pour trouver $\text{DF}$, nous prenons la racine carrée : $$ \text{DF} = \sqrt{100} $$ $$ \text{DF} = 10 \text{ cm} $$ L'hypoténuse $\text{DF}$ mesure donc $10 \text{ cm}$.
⚠️ Confondre l'hypoténuse avec une cathète
- Le piège le plus courant est de ne pas identifier correctement l'hypoténuse.
- L'hypoténuse est TOUJOURS le côté le plus long et celui qui est opposé à l'angle droit.
- Si vous appliquez la formule en pensant que l'hypoténuse est une cathète, votre calcul sera faux.
- Par exemple, si vous cherchez une cathète, la formule sera $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 - \text{BC}^2$ et non une somme.
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Exercice type Brevet
Exercice : Calcul de l'hypoténuse
Un triangle $\text{GHI}$ est rectangle en $\text{H}$. La longueur du côté $\text{GH}$ est de $5 \text{ cm}$ et la longueur du côté $\text{HI}$ est de $12 \text{ cm}$.
- Quelle est la nature du triangle $\text{GHI}$ ?
- Quel est le nom de l'hypoténuse ?
- Écrire la relation de Pythagore pour ce triangle.
- Calculer la longueur de l'hypoténuse $\text{GI}$.
Correction de l'exercice
- Le triangle $\text{GHI}$ est un triangle rectangle.
- L'angle droit est en $\text{H}$, donc le côté opposé est $\text{GI}$. L'hypoténuse est donc $\text{GI}$.
- D'après le théorème de Pythagore, la relation est : $$ \text{GI}^2 = \text{GH}^2 + \text{HI}^2 $$
- Calculons la longueur de l'hypoténuse $\text{GI}$ :
On a $\text{GH} = 5 \text{ cm}$ et $\text{HI} = 12 \text{ cm}$.
$$ \text{GI}^2 = 5^2 + 12^2 $$ $$ \text{GI}^2 = 25 + 144 $$ $$ \text{GI}^2 = 169 $$ Pour trouver $\text{GI}$, on prend la racine carrée :
$$ \text{GI} = \sqrt{169} $$ $$ \text{GI} = 13 \text{ cm} $$L'hypoténuse $\text{GI}$ mesure $13 \text{ cm}$.
Questions fréquentes
Quand peut-on utiliser le théorème de Pythagore ?
Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?
Peut-on utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une cathète ?
Est-ce que l'ordre des cathètes dans la somme a de l'importance ?
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