Définition
La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.
Pour un angle aigu $\widehat{A}$ dans un triangle rectangle :
$$\text{tan}(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}$$
Pour calculer la mesure de l'angle $\widehat{A}$ à partir de la valeur de sa tangente, on utilise la fonction réciproque de la tangente, notée $\text{arctan}$ ou $\text{tan}^{-1}$ :
$$\widehat{A} = \text{arctan}\left(\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\right)$$
Méthode — La tangente : calculer un angle
Identifier le triangle rectangle et l'angle à calculer
Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Repérez l'angle dont vous voulez calculer la mesure.
Identifier les côtés opposé et adjacent
Par rapport à l'angle choisi :
- Le côté opposé est le côté qui ne touche pas l'angle.
- Le côté adjacent est le côté qui touche l'angle, mais qui n'est pas l'hypoténuse.
- L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.
Écrire la formule de la tangente
Appliquez la formule : $\text{tan}(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$. Remplacez les noms des côtés par leurs longueurs connues.
Calculer la valeur de la tangente
Effectuez la division pour obtenir la valeur numérique de la tangente.
Utiliser la fonction réciproque (arctan ou $\text{tan}^{-1}$)
Pour trouver la mesure de l'angle, utilisez la fonction $\text{arctan}$ (ou $\text{tan}^{-1}$) de votre calculatrice.
$$\text{angle} = \text{arctan}(\text{valeur de la tangente})$$
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'degrés' (DEG).
Exemple résolu
Soit un triangle rectangle $ABC$ en $B$. On donne $AB = 5$ cm et $BC = 8$ cm. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ (arrondie au dixième de degré).
La mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ est d'environ $32,0°$.
⚠️ Confondre les côtés ou utiliser le mauvais rapport
- Le piège le plus courant est de confondre le côté opposé et le côté adjacent, ou d'utiliser l'hypoténuse par erreur (ce qui est pertinent pour le sinus ou le cosinus, mais pas la tangente).
- Astuce : Pour l'angle $\widehat{A}$, le côté opposé est 'en face' de $\widehat{A}$. Le côté adjacent est celui qui 'touche' $\widehat{A}$ mais qui n'est pas l'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit.
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Exercice type Brevet
Dans un triangle rectangle $DEF$ rectangle en $E$, on sait que $DE = 7$ cm et $EF = 10$ cm.1. Quel est le côté opposé à l'angle $\widehat{DFE}$ ?
2. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{DFE}$ ?
3. Écrire la relation trigonométrique permettant de calculer l'angle $\widehat{DFE}$.
4. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DFE}$ (arrondir au dixième de degré).
2. Le côté adjacent à l'angle $\widehat{DFE}$ est $EF$.
3. La relation trigonométrique est : $\text{tan}(\widehat{DFE}) = \frac{DE}{EF}$.
4. On a $\text{tan}(\widehat{DFE}) = \frac{7}{10} = 0,7$.
Donc $\widehat{DFE} = \text{arctan}(0,7) \approx 34,992...°$.
Arrondi au dixième, $\widehat{DFE} \approx 35,0°$.
Questions fréquentes
Quand utiliser la tangente plutôt que le sinus ou le cosinus ?
Comment savoir si ma calculatrice est en mode 'degrés' ?
Est-ce que la tangente peut être négative ?
Peut-on calculer la tangente d'un angle droit ?
Pour aller plus loin
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