Définition
La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.
Pour un angle $\widehat{A}$ dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
$$\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}} = \frac{BC}{AB}$$
Méthode — La tangente : calculer un côté
Identifier le triangle rectangle et l'angle connu
Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Repérez l'angle aigu dont la mesure est connue ou recherchée. Identifiez les côtés par rapport à cet angle : l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), le côté opposé (en face de l'angle aigu) et le côté adjacent (à côté de l'angle aigu, mais pas l'hypoténuse).
Écrire la formule de la tangente
Une fois les côtés identifiés, écrivez la formule de la tangente pour l'angle donné : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.
Un moyen mnémotechnique utile est SOH CAH TOA :
$\text{SOH} \rightarrow \text{Sinus} = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$
$\text{CAH} \rightarrow \text{Cosinus} = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$
$\text{TOA} \rightarrow \text{Tangente} = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$
Remplacer les valeurs connues et résoudre l'équation
Substituez les valeurs connues (l'angle et la longueur d'un côté) dans la formule. Ensuite, résolvez l'équation pour trouver la longueur du côté inconnu. N'oubliez pas d'utiliser votre calculatrice pour calculer la valeur de la tangente de l'angle.
Exemple résolu
Soit un triangle $RST$ rectangle en $S$. On connaît l'angle $\widehat{R} = 30°$ et la longueur du côté adjacent $RS = 5 \text{ cm}$. On veut calculer la longueur du côté opposé $ST$.
Donc $ST = 5 × \tan(30°)$.
$ST \approx 5 × 0,577 \approx 2,8867... \text{ cm}$.
Arrondi au centième, $ST \approx 2,89 \text{ cm}$.
En utilisant la tangente, nous avons pu calculer la longueur du côté $ST$ qui est d'environ $2,89 \text{ cm}$.
⚠️ Confondre les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse)
- C'est l'erreur la plus fréquente.
- L'hypoténuse est toujours le côté le plus long et est opposée à l'angle droit.
- Le côté opposé est en face de l'angle aigu considéré.
- Le côté adjacent est le côté qui forme l'angle aigu avec l'hypoténuse, mais qui n'est pas l'hypoténuse elle-même.
- Prenez le temps de bien les identifier avant d'appliquer la formule.
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Exercice type Brevet
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on sait que $\widehat{C} = 45°$ et que le côté $AB = 7 \text{ cm}$. Calculez la longueur du côté $BC$.- Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
- L'angle connu est $\widehat{C} = 45°$.
- Le côté opposé à $\widehat{C}$ est $AB = 7 \text{ cm}$.
- Le côté adjacent à $\widehat{C}$ est $BC$.
- On utilise la formule de la tangente : $\tan(\widehat{C}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AB}{BC}$.
- On remplace les valeurs connues : $\tan(45°) = \frac{7}{BC}$.
- On sait que $\tan(45°) = 1$.
- Donc $1 = \frac{7}{BC}$.
- Pour trouver $BC$, on a $BC = \frac{7}{1} = 7 \text{ cm}$.
- La longueur du côté $BC$ est $7 \text{ cm}$.
Questions fréquentes
Quand dois-je utiliser la tangente plutôt que le sinus ou le cosinus ?
Ma calculatrice doit-elle être en mode degrés ou radians ?
Que faire si je dois trouver l'angle au lieu d'un côté ?
Est-ce que la tangente est toujours positive ?
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