Additionner des fractions (dénominateurs différents) – Fiche Brevet Maths

Définition

Pour additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur, il est nécessaire de les réduire au même dénominateur. Cela signifie qu'il faut trouver un dénominateur commun aux deux fractions. Le plus simple est souvent de trouver le plus petit multiple commun (PPCM) des deux dénominateurs.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si les dénominateurs sont les mêmes avant d'additionner les numérateurs. Sinon, réduisez au même dénominateur !

Méthode — Additionner des fractions (dénominateurs différents)

Étape 1 : Trouver un dénominateur commun

Identifiez les dénominateurs des deux fractions. Cherchez le plus petit multiple commun (PPCM) de ces deux nombres. Si les dénominateurs sont $d_1$ et $d_2$, le PPCM est le plus petit nombre qui est un multiple de $d_1$ et de $d_2$. Une méthode simple est de multiplier les dénominateurs entre eux, mais ce n'est pas toujours le plus petit dénominateur commun.

Étape 2 : Transformer les fractions

Pour chaque fraction, multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre afin d'obtenir le dénominateur commun trouvé à l'étape 1. Si vous avez $\frac{a}{d_1}$ et que le dénominateur commun est $D$, alors $D = k_1 × d_1$. La nouvelle fraction sera $\frac{a × k_1}{d_1 × k_1} = \frac{a × k_1}{D}$. Faites de même pour la deuxième fraction.

Étape 3 : Additionner les fractions

Une fois que les deux fractions ont le même dénominateur, vous pouvez les additionner en additionnant simplement leurs numérateurs et en gardant le dénominateur commun. Si vous avez $\frac{N_1}{D} + \frac{N_2}{D}$, le résultat est $\frac{N_1 + N_2}{D}$.

Étape 4 : Simplifier le résultat (si possible)

Après l'addition, vérifiez si la fraction résultante peut être simplifiée. Pour cela, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).

Exemple résolu

Calculons l'addition suivante : $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.

Dénominateurs

3 et 4 — Les dénominateurs sont différents.

Dénominateur commun (PPCM)

12 — Les multiples de 3 sont : 3, 6, 9, 12, 15...
Les multiples de 4 sont : 4, 8, 12, 16...
Le plus petit multiple commun est 12.

Transformation de $\frac{2}{3}$

$\frac{2 × 4}{3 × 4} = \frac{8}{12}$ — Pour passer de 3 à 12, on multiplie par 4. On multiplie donc le numérateur (2) par 4 également.

Transformation de $\frac{1}{4}$

$\frac{1 × 3}{4 × 3} = \frac{3}{12}$ — Pour passer de 4 à 12, on multiplie par 3. On multiplie donc le numérateur (1) par 3 également.

Addition des fractions transformées

$\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12}$ — Les fractions ont maintenant le même dénominateur. On additionne les numérateurs.

Simplification du résultat

$\frac{11}{12}$ — 11 est un nombre premier et n'est pas un diviseur de 12. La fraction est irréductible.

Donc, $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12}$.

⚠️ Ne pas additionner les dénominateurs !

Additionner les numérateurs et les dénominateurs directement, sans les réduire au même dénominateur.
Par exemple, faire $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{3+4} = \frac{3}{7}$ est incorrect.
Les dénominateurs indiquent la taille des parts ; on ne peut les additionner que si ces parts sont de même taille.

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Exercice type Brevet

Calculez les sommes de fractions suivantes en détaillant les étapes :

$\frac{1}{2} + \frac{3}{5}$
$\frac{5}{6} + \frac{7}{9}$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$

$\frac{1}{2} + \frac{3}{5}$
Dénominateurs : 2 et 5. PPCM(2, 5) = 10.
$\frac{1}{2} = \frac{1 × 5}{2 × 5} = \frac{5}{10}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 × 2}{5 × 2} = \frac{6}{10}$
$\frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{5 + 6}{10} = \frac{11}{10}$
$\frac{5}{6} + \frac{7}{9}$
Dénominateurs : 6 et 9. PPCM(6, 9) = 18.
$\frac{5}{6} = \frac{5 × 3}{6 × 3} = \frac{15}{18}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 × 2}{9 × 2} = \frac{14}{18}$
$\frac{15}{18} + \frac{14}{18} = \frac{15 + 14}{18} = \frac{29}{18}$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$
Dénominateurs : 4 et 6. PPCM(4, 6) = 12.
$\frac{3}{4} = \frac{3 × 3}{4 × 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 × 2}{6 × 2} = \frac{2}{12}$
$\frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9 + 2}{12} = \frac{11}{12}$

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on trouver un dénominateur commun ?

Imaginez que vous additionnez des pommes et des oranges. Vous ne pouvez pas dire que vous avez 'une pomme-orange'. De même, vous ne pouvez pas additionner des 'demis' et des 'tiers' directement. Il faut les convertir en une unité commune, par exemple des 'sixièmes', pour pouvoir les additionner.

Comment trouver le PPCM rapidement ?

Vous pouvez lister les multiples de chaque dénominateur jusqu'à trouver le premier multiple commun. Pour des nombres plus grands, la décomposition en facteurs premiers peut être utile. Sinon, multiplier les deux dénominateurs entre eux donne toujours un dénominateur commun, mais pas toujours le plus petit.

Que faire si l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre ?

Si un dénominateur est un multiple de l'autre, le plus grand des deux est le dénominateur commun. Par exemple, pour $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$, le dénominateur commun est 4. Il suffit de transformer $\frac{1}{2}$ en $\frac{2}{4}$.

Est-il toujours nécessaire de simplifier la fraction finale ?

Oui, il est de bonne pratique de toujours simplifier une fraction à sa forme irréductible. Cela rend le résultat plus clair et plus facile à manipuler pour d'autres calculs.

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