Additionner des fractions (même dénominateur) – Fiche Brevet Maths

Définition

Pour additionner des fractions qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Soient $\frac{a}{c}$ et $\frac{b}{c}$ deux fractions avec $c \neq 0$.
La règle est la suivante : $$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$$

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si les dénominateurs sont identiques avant d'additionner. Si oui, additionner les numérateurs et garder le dénominateur. Simplifier le résultat !

Méthode — Additionner des fractions (même dénominateur)

Vérifier les dénominateurs

Assurez-vous que les deux fractions que vous souhaitez additionner ont exactement le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, cette méthode ne s'applique pas directement (il faudra d'abord les réduire au même dénominateur).

Additionner les numérateurs

Une fois que vous avez confirmé que les dénominateurs sont identiques, additionnez simplement les numérateurs des deux fractions. Le résultat de cette addition sera le nouveau numérateur de votre fraction somme.

Conserver le dénominateur commun

Le dénominateur de la fraction résultante sera le même que le dénominateur commun des fractions de départ. Il ne change pas.

Simplifier la fraction (si possible)

Après avoir obtenu la fraction somme, vérifiez si elle peut être simplifiée. Pour cela, trouvez le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, puis divisez les deux par ce PGCD. Si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, la fraction est irréductible.

Exemple résolu

Voyons quelques exemples pour comprendre quand et comment appliquer cette méthode.

Additionner $\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$

Les dénominateurs sont identiques (7). On additionne les numérateurs : $3+2=5$. Le dénominateur reste 7. Résultat : $\frac{5}{7}$.

Additionner $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

Les dénominateurs sont identiques (12). On additionne les numérateurs : $5+1=6$. Le dénominateur reste 12. Résultat : $\frac{6}{12}$. Cette fraction peut être simplifiée par 6 : $\frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$.

Additionner $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$

✗ NonLes dénominateurs sont différents (3 et 4). Cette méthode ne s'applique pas directement. Il faudrait d'abord réduire les fractions au même dénominateur (ici 12).

Additionner $\frac{9}{10} + \frac{-3}{10}$

Les dénominateurs sont identiques (10). On additionne les numérateurs : $9 + (-3) = 6$. Le dénominateur reste 10. Résultat : $\frac{6}{10}$. Cette fraction peut être simplifiée par 2 : $\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$.

Ces exemples montrent l'importance de vérifier les dénominateurs avant d'appliquer la règle et de toujours simplifier le résultat final si possible.

⚠️ Ne pas additionner les dénominateurs !

Additionner à la fois les numérateurs ET les dénominateurs.
Par exemple, pour $\frac{1}{5} + \frac{2}{5}$, on pourrait être tenté d'écrire $\frac{1+2}{5+5} = \frac{3}{10}$.
C'est FAUX ! Le dénominateur représente le nombre total de parts égales dans l'unité, et il ne change pas quand on combine des parts de la même taille.
On garde le dénominateur commun, ici 5.
Le résultat correct est $\frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}$.

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Exercice type Brevet

Voici quelques exercices pour vous entraîner :

Calculez et simplifiez si possible : $\frac{4}{9} + \frac{2}{9}$
Calculez et simplifiez si possible : $\frac{7}{15} + \frac{8}{15}$
Calculez et simplifiez si possible : $\frac{11}{20} + \frac{3}{20}$
Calculez et simplifiez si possible : $\frac{1}{6} + \frac{5}{6}$

$\frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4+2}{9} = \frac{6}{9}$. Simplification par 3 : $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.
$\frac{7}{15} + \frac{8}{15} = \frac{7+8}{15} = \frac{15}{15} = 1$.
$\frac{11}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11+3}{20} = \frac{14}{20}$. Simplification par 2 : $\frac{14 \div 2}{20 \div 2} = \frac{7}{10}$.
$\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Questions fréquentes

Pourquoi ne doit-on pas additionner les dénominateurs ?

Le dénominateur indique en combien de parts égales une unité est divisée. Si vous avez $\frac{1}{5}$ d'un gâteau et $\frac{2}{5}$ du même gâteau, vous avez des parts de la même taille (des cinquièmes). En les additionnant, vous obtenez plus de cinquièmes, pas des dixièmes. Le 'type' de part (le dénominateur) reste le même.

Que faire si les fractions n'ont pas le même dénominateur ?

Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, vous devez d'abord les réduire au même dénominateur. Cela signifie trouver un multiple commun aux deux dénominateurs (idéalement le plus petit commun multiple, PPCM), puis multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le facteur approprié pour obtenir ce dénominateur commun.

Cette règle s'applique-t-elle aussi à la soustraction ?

Oui, absolument ! La règle est la même pour la soustraction de fractions avec le même dénominateur : on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Par exemple, $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5-2}{7} = \frac{3}{7}$.

Est-ce que je dois toujours simplifier ma fraction finale ?

Oui, en mathématiques, il est toujours attendu de donner les fractions sous leur forme irréductible (simplifiée au maximum). C'est une bonne pratique qui rend les résultats plus clairs et plus faciles à utiliser.

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