Simplifier une fraction avec le PGCD – Fiche Brevet Maths

Définition

Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseurs communs autres que $1$. Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si $\text{PGCD}(a, b) = 1$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si la fraction obtenue est bien irréductible en s'assurant que le PGCD du nouveau numérateur et dénominateur est $1$.

Méthode — Simplifier une fraction avec le PGCD

Étape 1 : Calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur

Utilisez l'algorithme d'Euclide ou la méthode des soustractions successives pour trouver le PGCD des deux nombres. L'algorithme d'Euclide est généralement plus rapide pour les grands nombres.

Étape 2 : Diviser le numérateur par le PGCD

Une fois le PGCD trouvé, divisez le numérateur de la fraction par ce PGCD. Le résultat sera le nouveau numérateur de la fraction simplifiée.

Étape 3 : Diviser le dénominateur par le PGCD

De la même manière, divisez le dénominateur de la fraction par le PGCD. Le résultat sera le nouveau dénominateur de la fraction simplifiée.

Étape 4 : Écrire la fraction simplifiée

La fraction obtenue après ces divisions est la forme irréductible de la fraction initiale.

Exemple résolu

Simplifions la fraction $\frac{42}{70}$ en utilisant le PGCD.

Calcul du PGCD de $42$ et $70$ par l'algorithme d'Euclide :

$70 = 1 × 42 + 28$
$42 = 1 × 28 + 14$
$28 = 2 × 14 + 0$
Le dernier reste non nul est $14$. Donc $\text{PGCD}(42, 70) = 14$.

Division du numérateur par le PGCD :

$42 \div 14 = 3$

Division du dénominateur par le PGCD :

$70 \div 14 = 5$

Fraction simplifiée :

La fraction simplifiée est $\frac{3}{5}$.

Ainsi, la fraction $\frac{42}{70}$ simplifiée est $\frac{3}{5}$. On peut vérifier que $\text{PGCD}(3, 5) = 1$, la fraction est donc irréductible.

⚠️ Ne pas diviser par un diviseur commun qui n'est pas le PGCD

Si vous divisez le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun qui n'est pas le PGCD, la fraction obtenue ne sera pas irréductible et vous devrez la simplifier à nouveau.
Par exemple, pour $\frac{42}{70}$, si vous divisez par $2$, vous obtenez $\frac{21}{35}$, qui n'est pas irréductible car $21$ et $35$ sont tous deux divisibles par $7$.
Il faut ensuite diviser par $7$ pour obtenir $\frac{3}{5}$.
L'utilisation du PGCD garantit une simplification en une seule étape.

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Exercice type Brevet

Simplifiez les fractions suivantes en utilisant le PGCD :
1. $\frac{24}{36}$
2. $\frac{105}{140}$
3. $\frac{99}{121}$

1. Pour $\frac{24}{36}$ :
$\text{PGCD}(24, 36)$ :
$36 = 1 × 24 + 12$
$24 = 2 × 12 + 0$
$\text{PGCD}(24, 36) = 12$
$\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$

2. Pour $\frac{105}{140}$ :
$\text{PGCD}(105, 140)$ :
$140 = 1 × 105 + 35$
$105 = 3 × 35 + 0$
$\text{PGCD}(105, 140) = 35$
$\frac{105 \div 35}{140 \div 35} = \frac{3}{4}$

3. Pour $\frac{99}{121}$ :
$\text{PGCD}(99, 121)$ :
$121 = 1 × 99 + 22$
$99 = 4 × 22 + 11$
$22 = 2 × 11 + 0$
$\text{PGCD}(99, 121) = 11$
$\frac{99 \div 11}{121 \div 11} = \frac{9}{11}$

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on utiliser le PGCD pour simplifier une fraction ?

Utiliser le PGCD garantit que la fraction obtenue est irréductible en une seule étape, car vous divisez par le plus grand facteur commun possible. Si vous utilisez un autre diviseur commun, vous risquez de devoir simplifier plusieurs fois.

Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autres diviseurs communs que $1$. En d'autres termes, leur PGCD est $1$.

Comment savoir si j'ai bien simplifié la fraction au maximum ?

Si vous avez divisé le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, la fraction est automatiquement simplifiée au maximum (irréductible). Vous pouvez vérifier en calculant le PGCD des nouveaux numérateur et dénominateur ; il doit être égal à $1$.

Y a-t-il d'autres méthodes pour simplifier une fraction ?

Oui, vous pouvez décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers et 'barrer' les facteurs communs. Cependant, la méthode du PGCD est souvent plus systématique et efficace, surtout pour des nombres plus grands.

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