Définition
Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseurs communs autres que $1$. Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si $\text{PGCD}(a, b) = 1$.
Méthode — Simplifier une fraction avec le PGCD
Étape 1 : Calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur
Utilisez l'algorithme d'Euclide ou la méthode des soustractions successives pour trouver le PGCD des deux nombres. L'algorithme d'Euclide est généralement plus rapide pour les grands nombres.
Étape 2 : Diviser le numérateur par le PGCD
Une fois le PGCD trouvé, divisez le numérateur de la fraction par ce PGCD. Le résultat sera le nouveau numérateur de la fraction simplifiée.
Étape 3 : Diviser le dénominateur par le PGCD
De la même manière, divisez le dénominateur de la fraction par le PGCD. Le résultat sera le nouveau dénominateur de la fraction simplifiée.
Étape 4 : Écrire la fraction simplifiée
La fraction obtenue après ces divisions est la forme irréductible de la fraction initiale.
Exemple résolu
Simplifions la fraction $\frac{42}{70}$ en utilisant le PGCD.
$42 = 1 × 28 + 14$
$28 = 2 × 14 + 0$
Le dernier reste non nul est $14$. Donc $\text{PGCD}(42, 70) = 14$.
Ainsi, la fraction $\frac{42}{70}$ simplifiée est $\frac{3}{5}$. On peut vérifier que $\text{PGCD}(3, 5) = 1$, la fraction est donc irréductible.
⚠️ Ne pas diviser par un diviseur commun qui n'est pas le PGCD
- Si vous divisez le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun qui n'est pas le PGCD, la fraction obtenue ne sera pas irréductible et vous devrez la simplifier à nouveau.
- Par exemple, pour $\frac{42}{70}$, si vous divisez par $2$, vous obtenez $\frac{21}{35}$, qui n'est pas irréductible car $21$ et $35$ sont tous deux divisibles par $7$.
- Il faut ensuite diviser par $7$ pour obtenir $\frac{3}{5}$.
- L'utilisation du PGCD garantit une simplification en une seule étape.
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Exercice type Brevet
Simplifiez les fractions suivantes en utilisant le PGCD :1. $\frac{24}{36}$
2. $\frac{105}{140}$
3. $\frac{99}{121}$
$\text{PGCD}(24, 36)$ :
$36 = 1 × 24 + 12$
$24 = 2 × 12 + 0$
$\text{PGCD}(24, 36) = 12$
$\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$
2. Pour $\frac{105}{140}$ :
$\text{PGCD}(105, 140)$ :
$140 = 1 × 105 + 35$
$105 = 3 × 35 + 0$
$\text{PGCD}(105, 140) = 35$
$\frac{105 \div 35}{140 \div 35} = \frac{3}{4}$
3. Pour $\frac{99}{121}$ :
$\text{PGCD}(99, 121)$ :
$121 = 1 × 99 + 22$
$99 = 4 × 22 + 11$
$22 = 2 × 11 + 0$
$\text{PGCD}(99, 121) = 11$
$\frac{99 \div 11}{121 \div 11} = \frac{9}{11}$
Questions fréquentes
Pourquoi doit-on utiliser le PGCD pour simplifier une fraction ?
Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
Comment savoir si j'ai bien simplifié la fraction au maximum ?
Y a-t-il d'autres méthodes pour simplifier une fraction ?
Pour aller plus loin
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