Nombres et Calculs · Fiche N°4 / 104

Trouver le PGCD de deux nombres

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres entiers non nuls est le plus grand nombre entier qui divise ces deux nombres simultanément.
Par exemple, les diviseurs de $12$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Les diviseurs de $18$ sont $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Les diviseurs communs sont $1, 2, 3, 6$. Le plus grand est $6$. Donc $\text{PGCD}(12; 18) = 6$.

💡 Bon réflexe : Pour les grands nombres, privilégie l'algorithme d'Euclide par divisions euclidiennes, c'est la méthode la plus rapide et la plus efficace.

Méthode — Trouver le PGCD de deux nombres

1

Méthode 1 : Liste des diviseurs

1. Lister tous les diviseurs du premier nombre.
2. Lister tous les diviseurs du second nombre.
3. Identifier les diviseurs communs aux deux listes.
4. Le plus grand de ces diviseurs communs est le PGCD.

2

Méthode 2 : Algorithme d'Euclide (par soustractions successives)

1. Soustraire le plus petit nombre au plus grand.
2. Remplacer le plus grand nombre par le résultat de la soustraction.
3. Répéter les étapes 1 et 2 jusqu'à obtenir deux nombres égaux.
4. Ce nombre est le PGCD.

3

Méthode 3 : Algorithme d'Euclide (par divisions euclidiennes)

1. Diviser le plus grand nombre par le plus petit.
2. Si le reste est nul, le PGCD est le diviseur (le plus petit nombre).
3. Si le reste n'est pas nul, remplacer le plus grand nombre par le diviseur et le plus petit nombre par le reste.
4. Répéter les étapes 1 à 3 jusqu'à obtenir un reste nul.
5. Le PGCD est le dernier reste non nul.

4

Méthode 4 : Décomposition en facteurs premiers

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers.
2. Identifier les facteurs premiers communs aux deux décompositions.
3. Pour chaque facteur premier commun, prendre la puissance la plus petite.
4. Multiplier ces facteurs premiers avec leurs puissances pour obtenir le PGCD.

Exemple résolu

Trouvons le PGCD de $48$ et $72$ en utilisant les différentes méthodes.

1
Méthode 1 : Liste des diviseurs
Diviseurs de $48$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$.
Diviseurs de $72$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$.
Diviseurs communs: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
Le plus grand est $24$. Donc $\text{PGCD}(48; 72) = 24$.
2
Méthode 2 : Algorithme d'Euclide (soustractions)
$72 - 48 = 24$
$48 - 24 = 24$
Les deux nombres sont égaux à $24$. Donc $\text{PGCD}(48; 72) = 24$.
3
Méthode 3 : Algorithme d'Euclide (divisions)
$72 = 1 × 48 + 24$
$48 = 2 × 24 + 0$
Le dernier reste non nul est $24$. Donc $\text{PGCD}(48; 72) = 24$.
4
Méthode 4 : Décomposition en facteurs premiers
$48 = 2^4 × 3^1$
$72 = 2^3 × 3^2$
Facteurs communs avec la plus petite puissance: $2^3$ et $3^1$.
$\text{PGCD}(48; 72) = 2^3 × 3^1 = 8 × 3 = 24$.

Toutes les méthodes confirment que le PGCD de $48$ et $72$ est $24$.

⚠️ Ne pas confondre PGCD et PPCM

  1. Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise les deux nombres. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple des deux nombres. Ce sont deux concepts distincts.
  2. Par exemple, $\text{PGCD}(12; 18) = 6$ mais $\text{PPCM}(12; 18) = 36$.

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Exercice type Brevet

Exercice

1. Calculez le PGCD de $30$ et $42$ en utilisant la méthode de votre choix.

2. Calculez le PGCD de $105$ et $140$ en utilisant l'algorithme d'Euclide par divisions euclidiennes.

Corrigé

1. PGCD de $30$ et $42$ :

  • Méthode des diviseurs :
    Diviseurs de $30$: $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$.
    Diviseurs de $42$: $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$.
    Diviseurs communs: $1, 2, 3, 6$. Le plus grand est $6$.
    Donc $\text{PGCD}(30; 42) = 6$.

2. PGCD de $105$ et $140$ par divisions euclidiennes :

  • $140 = 1 × 105 + 35$
  • $105 = 3 × 35 + 0$

Le dernier reste non nul est $35$. Donc $\text{PGCD}(105; 140) = 35$.

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on le PGCD ?
Le PGCD est utile pour simplifier des fractions (rendre une fraction irréductible), pour résoudre des problèmes de partage équitable ou de pavage (trouver la plus grande taille de carreaux pour couvrir une surface sans coupe).
Est-ce que le PGCD de deux nombres premiers est toujours 1 ?
Oui, le PGCD de deux nombres premiers distincts est toujours $1$. En effet, les seuls diviseurs d'un nombre premier sont $1$ et lui-même. S'ils sont distincts, leur seul diviseur commun est $1$.
Que signifie "nombres premiers entre eux" ?
Deux nombres sont dits "premiers entre eux" si leur PGCD est égal à $1$. Cela signifie qu'ils n'ont pas d'autres diviseurs communs que $1$.
Existe-t-il une relation entre PGCD et PPCM ?
Oui, pour deux nombres entiers non nuls $a$ et $b$, la relation est : $a × b = \text{PGCD}(a; b) × \text{PPCM}(a; b)$. Cette formule est très utile pour calculer l'un si l'on connaît l'autre.

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