Diviser des fractions – Fiche Brevet Maths

Définition

Diviser une fraction par une autre fraction revient à multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde.
Soient deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ avec $b \neq 0$, $c \neq 0$ et $d \neq 0$.
La division s'écrit :
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
L'inverse d'une fraction $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$.

💡 Bon réflexe : Toujours transformer la division en multiplication par l'inverse de la deuxième fraction.

Méthode — Diviser des fractions

Étape 1 : Identifier les fractions

Repérez la première fraction (le dividende) et la deuxième fraction (le diviseur) dans l'opération.

Étape 2 : Trouver l'inverse du diviseur

Pour trouver l'inverse d'une fraction, il suffit d'échanger son numérateur et son dénominateur. Par exemple, l'inverse de $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$.

Étape 3 : Transformer la division en multiplication

Remplacez le signe de division ($\div$) par un signe de multiplication ($\times$) et remplacez le diviseur par son inverse. L'opération $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ devient $\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.

Étape 4 : Multiplier les fractions

Multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
$$\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

Étape 5 : Simplifier le résultat (si possible)

Réduisez la fraction obtenue à sa forme la plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Exemple résolu

Vérifions la compréhension de la méthode avec quelques cas pratiques.

Calculer $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}$

1. Inverse de $\frac{5}{7}$ est $\frac{7}{5}$.
2. On multiplie : $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15}$.
3. La fraction $\frac{14}{15}$ est irréductible.

Calculer $4 \div \frac{2}{5}$

1. Écrire $4$ comme une fraction : $\frac{4}{1}$.
2. Inverse de $\frac{2}{5}$ est $\frac{5}{2}$.
3. On multiplie : $\frac{4}{1} \times \frac{5}{2} = \frac{4 \times 5}{1 \times 2} = \frac{20}{2}$.
4. On simplifie : $\frac{20}{2} = 10$.

Calculer $\frac{3}{4} \div 6$

1. Écrire $6$ comme une fraction : $\frac{6}{1}$.
2. Inverse de $\frac{6}{1}$ est $\frac{1}{6}$.
3. On multiplie : $\frac{3}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{3 \times 1}{4 \times 6} = \frac{3}{24}$.
4. On simplifie (en divisant par $3$) : $\frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}$.

Ces exemples montrent comment appliquer la règle de division des fractions, y compris lorsque l'un des nombres est un entier.

⚠️ Ne pas inverser la première fraction !

Inverser la première fraction (le dividende) au lieu de la deuxième (le diviseur). Rappelez-vous toujours : on inverse la fraction par laquelle on divise.
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \neq \frac{b}{a} \times \frac{c}{d}$$

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Exercice type Brevet

Exercice : Division de fractions

Calculez les expressions suivantes et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible :

$\frac{5}{8} \div \frac{3}{4}$
$\frac{9}{2} \div 3$
$10 \div \frac{5}{6}$
$\frac{7}{12} \div \frac{14}{9}$

Correction de l'exercice

$\frac{5}{8} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{8 \times 3} = \frac{20}{24}$
Simplification : $\frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$
$\frac{9}{2} \div 3 = \frac{9}{2} \div \frac{3}{1} = \frac{9}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{9 \times 1}{2 \times 3} = \frac{9}{6}$
Simplification : $\frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}$
$10 \div \frac{5}{6} = \frac{10}{1} \div \frac{5}{6} = \frac{10}{1} \times \frac{6}{5} = \frac{10 \times 6}{1 \times 5} = \frac{60}{5}$
Simplification : $\frac{60}{5} = 12$
$\frac{7}{12} \div \frac{14}{9} = \frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{63}{168}$
Simplification (on peut diviser par $21$) : $\frac{63 \div 21}{168 \div 21} = \frac{3}{8}$
Astuce : On peut simplifier avant de multiplier : $\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{\cancel{7}}{3 \times \cancel{4}} \times \frac{3 \times \cancel{3}}{\cancel{2} \times \cancel{7}} = \frac{1 \times 3}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$

Questions fréquentes

Pourquoi inverser la deuxième fraction ?

La division est l'opération inverse de la multiplication. Si $A \div B = C$, alors $A = B \times C$. En travaillant avec des fractions, on constate que multiplier par l'inverse donne le même résultat. C'est une propriété fondamentale des nombres rationnels qui permet de transformer une division complexe en une multiplication plus simple.

Que se passe-t-il si l'une des fractions est un nombre entier ?

Un nombre entier peut toujours être écrit comme une fraction avec un dénominateur de $1$. Par exemple, $5 = \frac{5}{1}$. Une fois converti, vous pouvez appliquer la même règle de division des fractions.

Dois-je simplifier avant ou après la multiplication ?

Vous pouvez simplifier à tout moment. Simplifier avant la multiplication (en barrant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur) peut rendre les calculs plus faciles et éviter de manipuler de grands nombres. Cependant, simplifier après la multiplication est également correct et donnera le même résultat final.

Peut-on diviser par zéro ?

Non, la division par zéro est indéfinie. Dans le contexte des fractions, cela signifie que le dénominateur de la fraction par laquelle on divise (le diviseur) ne doit jamais être égal à zéro.

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