Les puissances d'un nombre : définition – Fiche Brevet Maths

Q: Pourquoi $a^0 = 1$ ?

La règle $a^0 = 1$ est une convention mathématique qui permet de conserver les propriétés des puissances. Par exemple, $a^n × a^m = a^{n+m}$. Si on prend $n=0$, on a $a^0 × a^m = a^{0+m} = a^m$. Pour que cette égalité soit vraie, il faut que $a^0 = 1$ (sauf pour $a=0$, où $0^0$ est indéterminé).

Q: Qu'est-ce qu'une puissance de 10 ?

Une puissance de $10$ est un nombre de la forme $10^n$. Par exemple, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$, $10^{-1} = 0,1$, $10^{-2} = 0,01$. Elles sont très utilisées en écriture scientifique pour exprimer des nombres très grands ou très petits.

Q: Peut-on avoir une base négative ?

Oui, la base peut être négative. Le signe du résultat dépend de l'exposant : si l'exposant est pair, le résultat est positif (ex: $(-2)^2 = 4$) ; si l'exposant est impair, le résultat est négatif (ex: $(-2)^3 = -8$). Il est crucial d'utiliser des parenthèses pour éviter les confusions, par exemple $(-2)^2 \neq -2^2$.

Q: Comment calculer une puissance avec une fraction comme base ?

Si la base est une fraction, par exemple $(\frac{a}{b})^n$, alors on élève le numérateur et le dénominateur à la puissance $n$ : $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Par exemple, $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Définition

Une puissance est une manière d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre par lui-même. Elle est notée $a^n$, où $a$ est la base et $n$ est l'exposant.

Si $n$ est un entier positif ($n > 0$), alors $a^n = a × a × ... × a$ ($n$ fois).
Si $n = 0$ et $a \neq 0$, alors $a^0 = 1$.
Si $n = 1$, alors $a^1 = a$.
Si $n$ est un entier négatif ($n < 0$), alors $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

💡 Bon réflexe : Toujours identifier la base et l'exposant, puis appliquer la définition correspondante. Attention aux signes et à l'ordre des opérations !

Méthode — Les puissances d'un nombre : définition

Identifier la base et l'exposant

Dans l'expression $a^n$, $a$ est le nombre que l'on multiplie par lui-même (la base) et $n$ est le nombre de fois que l'on effectue cette multiplication (l'exposant).

Appliquer la définition selon l'exposant

Si $n > 0$: Multiplier la base par elle-même $n$ fois. Ex: $2^3 = 2 × 2 × 2$.
Si $n = 0$: Le résultat est $1$ (pour $a \neq 0$). Ex: $5^0 = 1$.
Si $n = 1$: Le résultat est la base elle-même. Ex: $7^1 = 7$.
Si $n < 0$: Transformer en fraction avec un exposant positif. Ex: $3^{-2} = \frac{1}{3^2}$.

Calculer le résultat

Effectuer la multiplication ou la division pour obtenir la valeur numérique de la puissance.

Exemple résolu

Voyons quelques exemples pour comprendre la définition des puissances.

$4^2$

16 — $4^2 = 4 × 4 = 16$. L'exposant $2$ indique que l'on multiplie $4$ par lui-même $2$ fois.

$(-3)^3$

-27 — $(-3)^3 = (-3) × (-3) × (-3) = 9 × (-3) = -27$. L'exposant $3$ indique que l'on multiplie $-3$ par lui-même $3$ fois.

$6^0$

1 — Tout nombre non nul élevé à la puissance $0$ est égal à $1$.

$10^1$

10 — Tout nombre élevé à la puissance $1$ est égal à lui-même.

$2^{-3}$

$\frac{1}{8}$ — $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 × 2 × 2} = \frac{1}{8}$. Un exposant négatif indique l'inverse de la puissance avec un exposant positif.

Ces exemples illustrent les différentes règles de définition des puissances en fonction de la valeur de l'exposant.

⚠️ Confusion entre $a^n$ et $a × n$

Ne confondez pas $a^n$ avec $a × n$.
Par exemple, $2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$, alors que $2 × 3 = 6$.
C'est une erreur très fréquente.
De même, attention aux parenthèses avec les nombres négatifs : $(-2)^2 = (-2) × (-2) = 4$, alors que $-2^2 = -(2 × 2) = -4$.

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Exercice type Brevet

Exercice : Calculer les puissances suivantes

$5^3$
$(-4)^2$
$7^0$
$10^{-2}$
$(-1)^5$

Corrigé de l'exercice

$5^3 = 5 × 5 × 5 = 25 × 5 = 125$
$(-4)^2 = (-4) × (-4) = 16$
$7^0 = 1$
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{10 × 10} = \frac{1}{100} = 0,01$
$(-1)^5 = (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) = 1 × (-1) × (-1) × (-1) = -1 × (-1) × (-1) = 1 × (-1) = -1$

Questions fréquentes

Pourquoi $a^0 = 1$ ?

La règle $a^0 = 1$ est une convention mathématique qui permet de conserver les propriétés des puissances. Par exemple, $a^n × a^m = a^{n+m}$. Si on prend $n=0$, on a $a^0 × a^m = a^{0+m} = a^m$. Pour que cette égalité soit vraie, il faut que $a^0 = 1$ (sauf pour $a=0$, où $0^0$ est indéterminé).

Qu'est-ce qu'une puissance de 10 ?

Une puissance de $10$ est un nombre de la forme $10^n$. Par exemple, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$, $10^{-1} = 0,1$, $10^{-2} = 0,01$. Elles sont très utilisées en écriture scientifique pour exprimer des nombres très grands ou très petits.

Peut-on avoir une base négative ?

Oui, la base peut être négative. Le signe du résultat dépend de l'exposant : si l'exposant est pair, le résultat est positif (ex: $(-2)^2 = 4$) ; si l'exposant est impair, le résultat est négatif (ex: $(-2)^3 = -8$). Il est crucial d'utiliser des parenthèses pour éviter les confusions, par exemple $(-2)^2 \neq -2^2$.

Comment calculer une puissance avec une fraction comme base ?

Si la base est une fraction, par exemple $(\frac{a}{b})^n$, alors on élève le numérateur et le dénominateur à la puissance $n$ : $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Par exemple, $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

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