Les puissances d'un nombre : règles de calcul – Fiche Brevet Maths

Q: Qu'est-ce qu'un exposant négatif ?

Un exposant négatif $a^{-n}$ signifie l'inverse de la puissance positive correspondante, soit $\frac{1}{a^n}$. Par exemple, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Q: Pourquoi $a^0 = 1$ ?

On peut le comprendre en utilisant la règle de division : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$. Or, tout nombre divisé par lui-même est égal à $1$ (sauf $0$), donc $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).

Q: Les règles des puissances s'appliquent-elles aux nombres décimaux ou fractions ?

Oui, les règles des puissances s'appliquent à tous les nombres réels (positifs, négatifs, entiers, décimaux, fractions), tant que les bases sont non nulles quand cela est requis (par exemple, pour $a^0$ ou $\frac{a}{b}$).

Q: Comment calculer une puissance sans calculatrice ?

Pour les petites puissances, il suffit de faire la multiplication répétée. Par exemple, $3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81$. Pour des nombres plus grands ou des exposants plus élevés, on peut décomposer ou utiliser les règles pour simplifier avant de calculer.

Définition

Une puissance est une manière d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre par lui-même. Elle se note $a^n$, où $a$ est la base et $n$ est l'exposant.

Si $n$ est un entier positif ($n > 0$), alors $a^n = a × a × ... × a$ ($n$ fois).
Exemple : $2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$.
Si $n = 0$, alors $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).
Exemple : $5^0 = 1$.
Si $n$ est un entier négatif ($n < 0$), alors $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.
Exemple : $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

💡 Bon réflexe : Toujours identifier la base et l'exposant, et vérifier si les bases sont identiques avant d'appliquer les règles de multiplication ou division.

Méthode — Les puissances d'un nombre : règles de calcul

Multiplication de puissances de même base

Lorsque l'on multiplie des puissances ayant la même base, on additionne les exposants : $a^n × a^m = a^{n+m}$.
Exemple : $3^2 × 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$.

Division de puissances de même base

Lorsque l'on divise des puissances ayant la même base, on soustrait les exposants : $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (pour $a \neq 0$).
Exemple : $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$.

Puissance d'une puissance

Lorsque l'on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants : $(a^n)^m = a^{n × m}$.
Exemple : $(2^3)^2 = 2^{3 × 2} = 2^6$.

Puissance d'un produit

La puissance d'un produit est le produit des puissances : $(a × b)^n = a^n × b^n$.
Exemple : $(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4$.

Puissance d'un quotient

La puissance d'un quotient est le quotient des puissances : $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (pour $b \neq 0$).
Exemple : $(\frac{4}{2})^3 = \frac{4^3}{2^3}$.

Exemple résolu

Simplifions les expressions suivantes en utilisant les règles des puissances :

$7^5 × 7^2$

On additionne les exposants : $7^{5+2} = 7^7$

$\frac{10^8}{10^3}$

On soustrait les exposants : $10^{8-3} = 10^5$

$( ( -4 )^2 )^3$

On multiplie les exposants : $( -4 )^{2 × 3} = ( -4 )^6$

$( 2 × 5 )^3$

On distribue l'exposant : $2^3 × 5^3$

$6^0$

Tout nombre (non nul) élevé à la puissance $0$ est égal à $1$.

$3^{-2}$

Un exposant négatif signifie l'inverse : $\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ces exemples montrent comment appliquer les différentes règles de calcul sur les puissances pour simplifier les expressions.

⚠️ Erreurs courantes avec les puissances

Ne pas confondre $a^n × b^n$ et $(a × b)^n$ : Ils sont égaux ! Mais attention à ne pas faire $a^n + b^n$ ou $a^n × b^m$.
Ne pas additionner les bases : $a^n + a^m \neq a^{n+m}$. Cette règle ne s'applique qu'à la multiplication. Par exemple, $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$, alors que $2^{2+3} = 2^5 = 32$.
Attention aux parenthèses et aux signes négatifs : $( -2 )^2 = ( -2 ) × ( -2 ) = 4$, alors que $-2^2 = -( 2 × 2 ) = -4$.
$a^0 = 1$ sauf si $a = 0$ : L'expression $0^0$ est indéfinie.

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Exercice type Brevet

Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les règles des puissances :

1. $A = 5^4 × 5^3$
2. $B = \frac{7^9}{7^2}$
3. $C = ( ( -3 )^2 )^4$
4. $D = ( 2 × 5 )^3 × 2^2$
5. $E = \frac{11^5 × 11^{-2}}{11^3}$
6. $F = ( \frac{3}{4} )^2 × 4^2$

1. $A = 5^4 × 5^3 = 5^{4+3} = 5^7$
2. $B = \frac{7^9}{7^2} = 7^{9-2} = 7^7$
3. $C = ( ( -3 )^2 )^4 = ( -3 )^{2 × 4} = ( -3 )^8 = 3^8$ (car l'exposant est pair)
4. $D = ( 2 × 5 )^3 × 2^2 = ( 2^3 × 5^3 ) × 2^2 = 2^{3+2} × 5^3 = 2^5 × 5^3$
5. $E = \frac{11^5 × 11^{-2}}{11^3} = \frac{11^{5+(-2)}}{11^3} = \frac{11^3}{11^3} = 11^{3-3} = 11^0 = 1$
6. $F = ( \frac{3}{4} )^2 × 4^2 = \frac{3^2}{4^2} × 4^2 = 3^2 = 9$

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un exposant négatif ?

Un exposant négatif $a^{-n}$ signifie l'inverse de la puissance positive correspondante, soit $\frac{1}{a^n}$. Par exemple, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Pourquoi $a^0 = 1$ ?

On peut le comprendre en utilisant la règle de division : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$. Or, tout nombre divisé par lui-même est égal à $1$ (sauf $0$), donc $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).

Les règles des puissances s'appliquent-elles aux nombres décimaux ou fractions ?

Oui, les règles des puissances s'appliquent à tous les nombres réels (positifs, négatifs, entiers, décimaux, fractions), tant que les bases sont non nulles quand cela est requis (par exemple, pour $a^0$ ou $\frac{a}{b}$).

Comment calculer une puissance sans calculatrice ?

Pour les petites puissances, il suffit de faire la multiplication répétée. Par exemple, $3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81$. Pour des nombres plus grands ou des exposants plus élevés, on peut décomposer ou utiliser les règles pour simplifier avant de calculer.

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